傅里叶变换 | 函数可积 | 存在性

注：本文为 “傅里叶变换” 相关文章合辑。

英文引文，机翻未校。

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Integrable function whose Fourier transform is not integrable

edited Sep 20, 2011 at 23:31
asked Sep 20, 2011 at 20:24

I am looking for an example of a function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that $f\in L^1$ in the sense that ${\int }_{\mathbb{R}}|f|<\infty$ but its Fourier transform $\hat{f}$ is not in $L^1$. Does anyone have one?

我正在寻找一个函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得 $f\in L^1$，即 ${\int }_{\mathbb{R}}|f|<\infty$，但它的傅里叶变换 $\hat{f}$ 不在 $L^1$ 中。有人有例子吗？

Note that any function whose Fourier transform is in $L^1$ must be equal to a continuous function almost everywhere, since ${\mathcal{F}}^{-1}(\mathcal{F}(f))=f$ a.e. in this case. This follows from the inversion formula and because the Fourier transform of a function is continuous.

请注意，任何傅里叶变换在 $L^1$ 中的函数几乎处处等于一个连续函数，因为在这种情况下 ${\mathcal{F}}^{-1}(\mathcal{F}(f))=f$ 几乎处处成立。这是由傅里叶逆变换公式以及傅里叶变换的连续性得出的。

This gives us many examples of functions you are looking for. For example, $f(x)={\chi }_{[-1,1]}(x)$ must necessarily be such a function.

这为我们提供了许多你正在寻找的函数的例子。例如，$f(x)={\chi }_{[-1,1]}(x)$ 必须是这样的一个函数。

Added: The function $f(x)=|x{|}^{-1/2}{e}^{-|x|}$ is a simple example (much simpler than the original example I proposed). Its Fourier transform is:

补充：函数 $f(x)=|x{|}^{-1/2}{e}^{-|x|}$ 是一个简单的例子（比我最初提出的例子简单得多）。它的傅里叶变换是：

$\hat{f}(\omega )=\sqrt{\frac{1}{\sqrt{{\omega }^2+1}}+\frac{1}{{\omega }^2+1}}$

其傅里叶变换为：

and has asymptote $\hat{f}(\omega )\sim |\omega {|}^{-1/2}$ for large $|\omega |$, thus $\hat{f}\notin L^1$.

并且在 $|\omega |$ 很大时，其渐近线为 $\hat{f}(\omega )\sim |\omega {|}^{-1/2}$，因此 $\hat{f}\notin L^1$。

Original example:
An example would be

一个例子是：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{-1/4}{e}^{-x}& x>0\\ |x{|}^{-1/2}{e}^x& x<0\end{array}$

It is clear that ${\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|dx<\infty$. The Fourier transform

显然 ${\int }_{\mathbb{R}}|f(x)|dx<\infty$。其傅里叶变换为：

$\hat{f}(\omega )=\frac{\sqrt{1-i\omega }-\sqrt{1+i\omega }}{\sqrt{8(1+{\omega }^2)}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\sqrt{{\omega }^2+1}}+\frac{1}{{\omega }^2+1}}+\frac{\Gamma \left(\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{2\pi }(1-i\omega {)}^{3/4}}$

其傅里叶变换为：

The integral ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\omega )|d\omega$ diverges because $\hat{f}(\omega )\sim |\omega {|}^{-1/2}$.

积分 ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\omega )|d\omega$ 发散，因为 $\hat{f}(\omega )\sim |\omega {|}^{-1/2}$。

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Existence of the Fourier Transform

傅里叶变换的存在性

Conditions for the existence of the Fourier transform are complicated to state in general, but it is sufficient for $x(t)$ to be absolutely integrable, i.e.,

傅里叶变换的存在条件通常难以一般性地表述，但如果函数 $x(t)$ 是绝对可积的，即：

$\Vert x{\Vert }_1\triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t)|dt<\infty$

那么 $x(t)$ 的绝对值在整个实数域上的积分是有限的，傅里叶变换是存在的。

This requirement can be stated as $f\in L^1$, meaning that $f$ belongs to the set of all signals having a finite $L^1$ norm.

这个条件可以表述为 $f\in L^1$，即 $f$ 属于所有具有有限 $L^1$ 范数的信号集合。

It is similarly sufficient for $f$ to be square integrable, i.e.,

同样地，如果 $f$ 是平方可积的，傅里叶变换也存在。即：

$\Vert x{\Vert }_2^2\triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^{2}dt<\infty$

或者用数学符号表示为 $f\in L^2$。更一般地，只需证明 $f$ 满足条件即可。

More generally, it suffices to show $f\in L^p$ for $1\le p\le 2$.

更一般地，只需证明 $1\le p\le 2$ 时 $x\in L^p$，傅里叶变换就存在。

There is never a question of existence, of course, for Fourier transforms of real-world signals encountered in practice. However, idealized signals, such as sinusoids that go on forever in time, do pose normalization difficulties. In practical engineering analysis, these difficulties are resolved using Dirac’s “generalized functions” such as the impulse (also called the delta function) .

当然，在实际中遇到的现实世界信号的傅里叶变换，其存在性从来都不是问题。然而，理想化的信号，比如在时间上无限延续的正弦波，确实会带来归一化的难题。在实际工程分析中，这些难题通过狄拉克的 “广义函数”（如冲激函数，也叫 $\delta$ 函数）来解决。
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傅里叶变换为什么必须满足函数绝对可积

随便取个六字 于 2024-10-12 17:11:09 发布

傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的工具，它将一个函数表示为频率成分的线性组合。

傅里叶变换存在的条件之一是该函数必须绝对可积，原因如下：此条件可确保傅里叶变换的收敛性，使得变换后的频率成分能够被准确表示和计算。

函数绝对可积性的定义

函数的绝对可积性定义为：函数的绝对值在定义域上的积分是有限的。对于函数 $f(x)$，若满足：

${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(x)|dx<\infty$

则称函数 $f(x)$ 绝对可积。该公式表明，函数 $f(x)$ 的绝对值从 $x=-\infty$ 到 $x=+\infty$ 的积分结果必须是有限值。若积分结果为无穷大，则该函数不满足绝对可积条件，傅里叶变换无法通过积分得到确定结果。

傅里叶变换的定义与条件

傅里叶变换的定义涉及到对 $f(x)$ 和复指数函数 $e^{-i\omega x}$ 的乘积进行积分，其数学表达式为：

$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$

其中，$\hat{f}(\omega )$ 表示函数 $f(x)$ 的傅里叶变换，$\omega$ 为频率变量 ，$i$ 为虚数单位。

对 $f(x)$ 与 $e^{-i\omega x}$ 的乘积在整个实数域 $(-\infty ,+\infty )$ 上进行积分，若函数 $f(x)$ 不是绝对可积的，上述积分可能发散，导致傅里叶变换无法收敛。因此，绝对可积性是傅里叶变换存在的必要条件。

示例

1. 快速衰减的函数

   考虑函数 $e^{-|x|}$ 的积分：

   ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-|x|}dx$

   计算结果为 $2$，因此该函数绝对可积。

2. 不衰减的函数

   考虑函数 $\frac{1}{|x|}$ 的积分：

   ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}dx$

   该积分发散，因此该函数不是绝对可积的。

总结

• 绝对可积性：函数的绝对值的积分是有限的。
• 傅里叶变换条件：绝对可积性确保傅里叶变换的积分收敛，变换结果存在且有意义。

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via:

• measure theory - Integrable function whose Fourier transform is not integrable - Mathematics Stack Exchange
  https://math.stackexchange.com/questions/66173/integrable-function-whose-fourier-transform-is-not-integrable

• 傅里叶变换为什么必须满足函数绝对可积-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/2301_80094394/article/details/142881005