CORDIC 算法实现 _FPGA

注：本文为 “CORDIC 算法” 相关文章合辑。

未整理去重。

如有内容异常，请看原文。

---

Cordic 算法的原理介绍

乐富道 2014-01-28 23:05

Cordic 算法知道正弦和余弦值，求反正切，即角度。

采用用不断的旋转求出对应的正弦余弦值，是一种近似求解发。

旋转的角度很讲求，每次旋转的角度必须使得 正切值近似等于 $\frac{1}{2^N}$。旋转的目的是让 $Y$ 轴趋近与 $0$。把每次旋转的角度累加，即得到旋转的角度和即为正切值。

比如 $Y$ 轴旋转 $45^{\circ }$，则值减小 $\frac{1}{2}$;

再旋转 $26.56505^{\circ }$，再减少 $\frac{1}{4}$;

再旋转角度 $14.03624^{\circ }$，再减少 $\frac{1}{8}$; 依次减少 $\frac{1}{16}$，$\frac{1}{32}\cdots \cdots$，最后 $Y$ 轴的值无限小，趋近于 $0$ 。

比如 $X=1$，$Y=1$，的角度，角度是 $45^{\circ }$。经过一次旋转，要使得 $Y=0$，这个角度必须是 $45^{\circ }$。

如上图

如图中，直角坐标系中点（$X_0$，$Y_0$）逆时钟旋转角度 $\theta$，变换成坐标（$X_1$，$Y_1$）,那么用 $X_0$，$Y_0$,以及 $\theta$ 的三角函数，如果表示 $X_1$，$Y_1$ 呢？

请想象，如果坐标也旋转角度 $\theta$，那么 $X_1$，$Y_1$ 的坐标依然是($X_0$，$Y_0$)。接着往下看：

看完以上这副图，就该明白这个等式了：

$x_1=x_0\cos \theta -y_0\sin \theta$

$y_1=x_0\sin \theta +y_0\cos \theta$

再把这个式子化成正切函数。

Cordic 算法的思想是通过迭代的方法，不断的旋转特定的角度(这个特定的角度就是使得 $Y$ 为上次的 $\frac{1}{2}$)，使得累计旋转的角度的和无限接近某一设定的角度，

每次旋转的角度的 $\theta =\arctan (\frac{1}{2^n})$；

具体迭代如下表：$Z_0=30^{\circ }$，$Y_0=0$，$X_0=0.6073$

输入 $30^{\circ }$，经过 $9$ 次迭代后，$Z_0=0$，$Y_0=0.5006$，$X_0=0.8657$

$x_{(i+1)}^{\prime }=(x_i^{\prime }-y_i^{\prime }({\sigma }_i)2^{-i})$

$y_{(i+1)}^{\prime }=(x_i^{\prime }({\sigma }_i)2^{-i}+y_i^{\prime })$

(当 $i=0$)

$x_1^{\prime }=0.607-0\cdot (+1)\cdot 1=0.607$

$y_1^{\prime }=0.607\cdot (+1)\cdot 1+0=0.607$

通过 Cordic 算法后，得到

$y_9=0.5006(=\sin (30^{\circ }))$

$x_9=0.8657(=\cos (30^{\circ }))$

所以也可以用 cordic 算法求出正切值的。

或者求反正切值：

计算公式：

posted @ 2014-01-28 23:05 乐富道

---

基于 FPGA 的 CORDIC 算法实现 —— Verilog 版

善良的一休君于 2017-08-21 20:07:34 发布

目前，学习与开发 FPGA 的程序员们大多使用的是 Verilog HDL 语言（以下简称为 Verilog），关于 Verilog 的诸多优点一休哥就不多介绍了，在此，我们将重点放在 Verilog 的运算操作上。

我们都知道，在 Verilog 中，运算一般分为逻辑运算（与或非等）与算术运算（加减乘除等）。而在一开始学习 Verilog 时，老司机一定会提醒我们，“切记，千万别用‘/’除、‘%’取模（有的也叫取余）和‘**’幂。” 这话说的不无道理，因为这三个运算是不可综合的。但，需清楚理解的是，不可综合的具体意思为不能综合为简单的模块，当我们在程序中调用了这些运算时，‘/’除和‘%’取模在 Quartus 软件中是可以综合的，因此可以正常调用运行，但是会消耗一些逻辑资源，而且会产生延时，即这两个运算的处理时间会很长，可能会大于时序控制时钟的单周期时间。此时呢，我们会建议你调用 IP 核来实现运算操作，虽然这样也会消耗许多逻辑资源，但产生的延时相对较小满足了你基本的需求。

问题好像迎刃而解了，可是仔细一想，除了这些运算，我们还剩下什么？对呀，三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数呢，这些函数我们在高中就学习了的呀，难道在 FPGA 中就没有用武之地吗？有人会说，查找表呗，首先将某个运算的所有可能的输入与输出对一一罗列出来，然后放进 Rom 中，然后根据输入查表得到输出。这个方法虽然有效的避免了延时问题，却是一个十分消耗资源的方法，不适合资源紧张的设计。那么，就真的没有办法了吗？

答案就是咱们今天的标题了，CORDIC，而且 CORDIC 是一个比较全能的算法，通过这一原理，我们可以实现三角函数，反三角函数，对数函数，指数函数等多种运算。接下来，一休哥就带领大家来学习 CORDIC 的原理吧。（题外话：请相信一休哥，本文不会让你感到太多痛苦～）

本文将分三个小部分来展开介绍：

1、CORDIC 的基本原理介绍

2、CORDIC 的具体操作流程介绍

3、CORDIC 的旋转模式 ——Verilog 仿真

本文涉及到的全部资料链接：

链接：http://pan.baidu.com/s/1gfrJzMj
密码：x92u

一、CORDIC 的基本原理介绍

CORDIC 算法是一个 “化繁为简” 的算法，将许多复杂的运算转化为一种 “仅需要移位和加法” 的迭代操作。CORDIC 算法有旋转和向量两个模式，分别可以在圆坐标系、线性坐标系和双曲线坐标系使用，从而可以演算出 8 种运算，而结合这 8 种运算也可以衍生出其他许多运算。下表展示了 8 种运算在 CORDIC 算法中实现的条件。

这里写图片描述

首先，我们先从旋转模式下的圆坐标系讲起，这也是 CORDIC 方法最初的用途。

1、CORDIC 的几何原理介绍

假设在 $xy$ 坐标系中有一个点 $P1(x_1,y_1)$，将 $P1$ 点绕原点旋转 $\theta$ 角后得到点 $P2(x_2,y_2)$。

这里图片描述

于是可以得到 $P1$ 和 $P2$ 的关系：

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =x_1\cos \theta -y_1\sin \theta =\cos \theta (x_1-y_1\tan \theta )\\ y_2& =y_1\cos \theta +x_1\sin \theta =\cos \theta (y_1+x_1\tan \theta )\end{array}$$

以上就是CORDIC的几何原理部分，而我们该如何深入理解这个几何原理的真正含义呢？

从原理中，我们可以知道，当已知一个点 $P1$ 的坐标，并已知该点 $P1$ 旋转的角度 $\theta$，则可以根据上述公式求得目标点 $P2$ 的坐标。然后，麻烦来了，我们需要用FPGA去执行上述运算操作，而FPGA的Verilog语言根本不支持三角函数运算。因此，我们需要对上述式子进行简化操作，将复杂的运算操作转换为一种单一的“迭代位移”算法。那么，接下来我们介绍优化算法部分。

2、CORDIC的优化算法介绍

我们先介绍算法的优化原理：将旋转角 $\theta$ 细化成若干分固定大小的角度 ${\theta }_i$，并且规定 ${\theta }_i$ 满足 $\tan {\theta }_i=2^{-i}$，因此 $\sum {\theta }_i$ 的值在 $[-99.7^{\circ },99.7^{\circ }]$ 范围内，如果旋转角 $\theta$ 超出此范围，则运用简单的三角运算操作即可（加减 $\pi$）。

然后我们需要修改几何原理部分的假设，假设在 $xy$ 坐标系中有一个点 $P0(x_0,y_0)$，将 $P0$ 点绕原点旋转 $\theta$ 角后得到点 $Pn(x_n,y_n)$。

于是可以得到 $P0$ 和 $Pn$ 的关系：

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =x_0\cos \theta -y_0\sin \theta =\cos \theta (x_0-y_0\tan \theta )\\ y_n& =y_0\cos \theta +x_0\sin \theta =\cos \theta (y_0+x_0\tan \theta )\end{array}$$

然后，我们将旋转角 $\theta$ 细化成 ${\theta }_i$，由于每次的旋转角度 ${\theta }_i$ 是固定不变的（因为满足 $\tan {\theta }_i=2^{-i}$），如果一直朝着一个方向旋转则 $\sum {\theta }_i$ 一定会超过 $\theta$（如果 $\theta$ 在 $[-99.7^{\circ },99.7^{\circ }]$ 范围内）。因此我们需要对 ${\theta }_i$ 设定一个方向值 $d_i$。如果旋转角已经大于 $\theta$，则 $d_i$ 为 $-1$，表示下次旋转为顺时针，即向 $\theta$ 靠近；如果旋转角已经小于 $\theta$，则 $d_i$ 为 $1$，表示下次旋转为逆时针，即也向 $\theta$ 靠近。然后我们可以得到每次旋转的角度值 $d_i{\theta }_i$，设角度剩余值为 $z_{i+1}$，则有 $z_{i+1}=z_i-d_i{\theta }_i$，其中 $z_0$ 为 $\theta$。如此随着 $i$ 的增大，角度剩余值 $z_{i+1}$ 将会趋近于 $0$，此时运算结束。（注：可以发现，$d_i$ 与 $z_i$ 的符号位相同）

第一次旋转 ${\theta }_0$，$d_0$ 为旋转方向：

$$\begin{array}{rl}{x}_1& \\ y_1& \end{array}$$