图解虚数 i 的意义

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2、全文公式 LaTex 化。

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图解虚数 i 的意义

作者：阮一峰 发表日期： 2012 年 9 月 24 日

有人在 Stack Exchange 问了一个问题：

" 我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。

中学老师说，虚数就是 - 1 的平方根。

$i=\sqrt{-1}$

可是，什么数的平方等于 - 1 呢？计算器直接显示出错！
 
直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
 
它有什么用？"

帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章

• A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers – BetterExplained
  https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/

我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

下面，我就用自己的语言，讲述所理解的虚数。

一、什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1 和 - 1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转 $180°$，$+1$ 就会变成 $-1$。

这相当于两次逆时针旋转 $90°$ 。

因此，可以得到下面的关系式：

$(+1)\ast (逆时针旋转90°)\ast (逆时针旋转90°)=(-1)$

如果把 $+1$ 消去，这个式子就变为：

$(逆时针旋转90°{)}^2=(-1)$

将 " 逆时针旋转 $90°$ " 记为 $i$ ：

$i^2=(-1)$

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 $i$ 就是逆时针旋转 $90°$，$i$ 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 $i$ 表示旋转量，我们就可以用 $i$ ，表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角°的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如 $(1,i)$，就可以确定某个实数的旋转量 $45°$。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 $(1,i)$ 表示成 $1+i$ 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 $1$ 称为实数部，$i$ 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算 “力的合成”。假定一个力是 $3+i$ ，另一个力是 $1+3i$ ，请问它们的合成力是多少？

根据 “平行四边形法则”，你马上得到，合成力就是 $(3+i)+(1+3i)=(4+4i)$

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 $3+4i$

如果该船的航向，逆时针增加 $45°$，请问新航向是多少？

$45°$ 的航向就是 $1+i$ 。计算新航向，只要把这两个航向 $3+4i$ 与 $1+i$ 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

$(3+4i)\ast (1+i)=(-1+7i)$

所以，该船的新航向是 $-1+7i$ 。

如果航向逆时针增加 $90°$，就更简单了。因为 $90°$ 的航向就是 $i$ ，所以新航向等于：

$(3+4i)\ast i=(-4+3i)$

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 $a+bi$，都可以改写成旋转半径 $r$ 与横轴夹角 $\theta$ 的形式。

假定现有两个复数 $a+bi$ 和 $c+di$，可以将它们改写如下：

$a+bi=r_1\ast (cos\alpha +isin\alpha )$
 
$c+di=r_2\ast (cos\beta +isin\beta )$

这两个复数相乘，$(a+bi)(c+di)$ 就相当于

$r_1\ast r_2\ast (cos\alpha +isin\alpha )\ast (cos\beta +isin\beta )$

展开后面的乘式，得到

$cos\alpha \ast cos\beta -sin\alpha \ast sin\beta +i(cos\alpha \ast sin\beta +sin\alpha \ast cos\beta )$

根据三角函数公式，上面的式子就等于

$cos(\alpha +\beta )+isin(\alpha +\beta )$

所以，

$(a+bi)(c+di)＝r_1\ast r_2\ast (cos(\alpha +\beta )+isin(\alpha +\beta ))$

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

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via:

• 虚数的意义 - 阮一峰的网络日志 作者： 阮一峰 日期： 2012 年 9 月 24 日

  https://ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html