多重背包(单调队列优化)

用单调队列可以大大提高效率

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 105
struct Queue
{
    int num,value;
}que[250005];
int head,tail;
int v[MAXN],w[MAXN],c[MAXN];
int dp[250005];
void enqueue (int x,int y)
{
    while (head<=tail && que[tail].value<y) tail--;
    que[++tail].num=x;que[tail].value=y;
}
int main()
{
    int i,j,d,sum,n,tempsum;
    while (scanf("%d",&n) && n>=0)
    {
        sum=0;
        for (i=1 ; i<=n ; ++i)
        {
            scanf("%d%d",&v[i],&c[i]);
            w[i]=v[i];
            sum+=w[i]*c[i];
        }
        tempsum=sum;
        sum/=2;
        for (i=1 ; i<=sum ; ++i) dp[i]=0;
        for (i=1 ; i<=n ; ++i)
        {
            if (c[i] > sum/w[i]) c[i]=sum/w[i];
            for (d=0 ; d<w[i] ; ++d)
            {
                head=1;tail=0;
                for (j=0 ; j<=(sum-d)/w[i] ; ++j)
                {
                    enqueue(j , dp[j*w[i]+d]-j*v[i]);
                    while (que[head].num<j-c[i] && head<=tail) head++;
                    dp[j*w[i]+d]=que[head].value+j*v[i];
                }
            }
        }
        printf("%d %d/n",tempsum-dp[sum],dp[sum]);
    }
    return 0;
}


<think> 首先,用户查询是关于多背包问题使用单调队列优化的信息。用户引用了几个来源,但指出这些引用仅供参考,我需要专注于真正的需求。用户上一次的问题是查找多背包问题的单调队列优化方法。 关键点是:多背包问题(Multiple Knapsack Problem)通常涉及多个物品,每个物品有重量、价值和数量限制(或多个实例)。单调队列优化是一种高效方法,用于处理多重背包问题(Multiple Knapsack Problem with Quantities),其中每个物品有多个副本。 从用户的引用中: - 引用[1]讨论了多重背包单调队列优化,并提供了C++代码。 - 引用[2]强调了队列内部元素的单调性维护。 - 引用[3]提供了另一个C++代码实现。 我需要综合这些信息,提供一个清晰、结构化的回答。回答必须: - 使用$...$格式行内数学表达式。 - 使用$$...$$格式独立公式单独成段。 - 使用中文。 - 生成相关问题。 - 末尾添加引用标识。 回答结构: 1. **解释问题**:简要描述多重背包问题。 2. **介绍优化方法**:解释单调队列优化的核心思想,为什么有效。 3. **算法步骤**:详细说明优化算法的逻辑。 4. **代码示例**:提供或描述代码实现。 5. **时间复杂度和优势**:讨论性能。 6. **生成相关问题**:基于内容提出相关问题。 使用引用标识:在回答中引用关键点时,末尾添加[^n]。 现在,构建内容: - **多重背包问题定义**:有一个背包容量$V$,$N$种物品,每种物品有体积$v_i$、价值$w_i$和可用数量$s_i$。目标是选择物品放入背包,使得总价值最大,且总容量不超过$V$。 - **标准解法的问题**:朴素多重背包解法(如转化为0-1背包)时间复杂度为$O(N \times V \times S)$,当$S$大时效率低。 - **单调队列优化思想**:优化动态规划的状态转移。对于每种物品,转移方程是: $$ dp[j] = \max_{k=0}^{s_i} \{ dp[j - k \cdot v_i] + k \cdot w_i \} \quad \text{for } j = 0 \text{ to } V $$ 这可以改写为: $$ dp[j] = \max_{k=0}^{s_i} \{ dp[j - k \cdot v_i] + k \cdot w_i \} $$ 单调队列用于高效计算这个最大值。 - **为什么用单调队列**:队列维护一个滑动窗口的最大值,确保在$O(1)$均摊时间获取最大值。 - **算法步骤**: - 对于每种物品$i$,复制当前dp数组到辅助数组$g$。 - 对于每个余数$j$ (mod $v_i$),维护一个单调递减队列。 - 遍历容量$k$从$j$到$V$,步长为$v_i$。 - 更新队列:移除过期元素(超出$s_i$限制),添加新元素,保持队列单调。 - 用队列头更新$dp[k]$。 - **时间复杂度**:优化后为$O(N \times V)$,显著优于朴素方法[^1]。 - **代码参考**:基于引用,提供简化代码描述或伪代码。 生成相关问题: 1. 多重背包问题单调队列优化的时间复杂度分析? 2. 如何实现单调队列优化中的队列操作? 3. 与其他优化方法相比的优势? 确保语言中文。 </think> ### 多重背包问题的单调队列优化方法 多重背包问题是背包问题的一个变种:给定$N$种物品,每种物品有体积$v_i$、价值$w_i$和数量上限$s_i$,以及一个背包容量$V$。目标是在总容量不超过$V$的前提下,最大化所选物品的总价值。朴素解法(如转化为0-1背包)的时间复杂度为$O(N \times V \times \max s_i)$,效率较低;而单调队列优化能将复杂度降至$O(N \times V)$,显著提升性能[^1][^2][^3]。 #### 优化核心思想 单调队列优化的核心在于高效处理动态规划的状态转移。多重背包的状态转移方程可表述为: $$ dp[j] = \max_{k=0}^{\min(s_i, \lfloor j / v_i \rfloor)} \{ g[j - k \cdot v_i] + k \cdot w_i \} \quad \text{对所有 } j = 0, 1, \dots, V $$ 其中: - $dp[j]$ 表示背包容量为$j$时的最大价值。 - $g$ 是辅助数组,存储放入当前物品前的状态(即上一种物品的dp值)。 - $k$ 表示当前物品的选取数量。 单调队列维护一个滑动窗口的最大值: 1. **窗口定义**:对于每个余数$r$($r = j \mod v_i$),遍历容量$j$(从$r$到$V$,步长为$v_i$)。 2. **单调性维护**:队列存储容量索引,保证队列头(head)对应的价值最大,且队列单调递减(即$g[q[\text{head}]] - \text{offset}$ 递减)。移除过期元素(超出物品数量$s_i$限制)和尾部较小值。 3. **高效更新**:在$O(1)$均摊时间内获取窗口最大值,用于更新$dp[j]$[^1][^2]。 #### 算法步骤 以下是基于引用代码的简化步骤(以C++为例): 1. **初始化**:读入$N$(物品种数)和$V$(背包容量),初始化dp数组为0。 2. **遍历每种物品**:对于每种物品$i$: - 复制当前dp数组到辅助数组$g$(保留放入$i$前的状态)。 - 遍历余数$r$($r = 0$ 到 $v_i - 1$),处理容量$j$:$r, r+v_i, r+2v_i, \dots, V$。 3. **维护单调队列**: - 队列$q$存储容量索引,$hh$(队头)和$tt$(队尾)初始化为0和-1。 - 对于每个$k$(从$r$到$V$,步长为$v_i$): - **移除过期元素**:如果队列头$q[hh]$超出$s_i$限制(即$k - q[hh] > s_i \cdot v_i$),则$hh++$。 - **更新dp[k]**:如果队列非空,$dp[k] = \max(dp[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v_i \cdot w_i)$。 - **入队新元素**:移除尾部小于当前值的元素,保持单调递减: ```c while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - r) / v_i * w_i <= g[k] - (k - r) / v_i * w_i) tt--; q[++tt] = k; ``` 4. **输出结果**:遍历所有物品后,$dp[V]$即为最大价值。 #### 代码示例(简化C++实现) 参考引用[1]和[3],以下是关键部分伪代码: ```cpp #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int maxv = 20005; int dp[maxv], g[maxv], q[maxv]; int main() { int N, V; cin >> N >> V; memset(dp, 0, sizeof dp); // 初始化dp for (int i = 0; i < N; i++) { int v, w, s; cin >> v >> w >> s; // 物品体积、价值、数量 memcpy(g, dp, sizeof dp); // 保存当前状态 for (int r = 0; r < v; r++) { // 遍历余数r int hh = 0, tt = -1; // 队列初始化 for (int k = r; k <= V; k += v) { // 步长为v // 移除过期元素 (k - q[hh] > s * v) if (hh <= tt && (k - q[hh]) > s * v) hh++; // 更新dp[k]使用队列头最大值 if (hh <= tt) dp[k] = max(dp[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w); // 维护单调递减队列 while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - r) / v * w <= g[k] - (k - r) / v * w) tt--; q[++tt] = k; // 入队 } } } cout << dp[V] << endl; return 0; } ``` #### 时间复杂度与优势 - **时间复杂度**:$O(N \times V)$,因为每个余数类独立处理,且每个容量$j$在队列操作中均摊$O(1)$时间[^1][^3]。 - **优势**:相比二进制优化($O(N \times V \times \log s_i)$),单调队列优化避免了额外拆分,适合大$s_i$场景(如AcWing等竞赛问题)[^1][^2]。 该优化利用了动态规划的状态转移特性,通过单调队列高效管理滑动窗口,确保性能最优[^3]。
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