高等数学 —— 反函数复合函数

最新推荐文章于 2025-12-27 22:35:36 发布

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本文介绍了数学中的反函数概念，包括其定义、单调性特征，以及复合函数的基本原理。重点回顾了基本初等函数如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，以及它们的反函数。旨在帮助读者复习初高中数学中的这些重要概念。

反函数

有时也叫 “逆函数”。

设 $f:D\rightarrow f(D)$ 是单射， $f^{-1}:f(D)\rightarrow D$ ，则 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数。

如果 $f$ 是单调函数，并且是单射，则 $f^{-1}$ 必存在，且 $f^{-1}$ 也是单调函数。

如果 $f$ 是单调增， $f^{-1}$ 也是单调增；如果 $f$ 是单调减， $f^{-1}$ 也是单调减。

$f$ 和 $f^{-1}$ 关于 $y=x$ 对称。

复合函数

$y=f(t)$ ， $t=g(x)$ ，则 $y=f[g(x)]$ ， $t$ 称为中间变量，起到过渡作用。 $R_{g} \subset D_{f}$

复合函数运算：（了解即可，很少用到）

$f(x)$ 的定义域是 $D_{f}$ ， $g(x)$ 的定义域是 $D_{g}$ ，并且 $D=D_{f}\cap D_{g}\not\equiv \varnothing$ ，以下运算成立：

$(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$

$(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)$

$(f\div g)(x)=f(x)\div g(x)$ $g(x)\neq 0$

初等函数

基本初等函数：经过有限次的四则运算和有限次的复合。

幂函数： $y=x^{\mu }$

指数函数： $y=a^{x}$

对数函数： $y=log_{a}x$ ，常见的对数函数： $\log_{e}x=\ln x$ ， $\log_{10}x=\lg x$

三角函数： $y=\sin x$ ， $y=\cos x$ ， $y=\tan x$ ， $y=\cot x$ ，etc.

反三角函数： $y=\arcsin x$ ， $y=\arccos x$ ， $y=\arctan x$ ， $y=\textrm{arccot}x$

# 复习初高中数学

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