高等数学上：反函数，复合函数，数列的极限（重难点）

反函数

由于现实生活中，函数的自变量和因变量往往是随实际需求而定的。比如研究钟摆长度和摆动速度的函数关系，工程师设计钟摆的时候，可能会将摆动速度定下来然后去研究钟摆的长度；也有可能将钟摆长度先定下来，然后去研究摆动速度。因此提出了反函数的概念。
若一个函数f(x)上的所有点(a, b)，肯定也有(b, a)在函数U(x)上出现，那么f(x)和u(x)称为互为反函数。根据这个定义不难发现，反函数的图像都是关于y = x对称的。

然后有一系列的常见反函数了解一下，像反正弦，反余弦，反正切。。。熟悉一下图像和性质即可。

---

复合函数

复合是有条件的！
形如：y = f(u)， u = h(x)。其中，h(x)的值域必须与f(u)的定义域交集不等于空
这样两个函数才能复合。
然后，复合函数可以不止有两个函数，可以是由很多个函数复合而成
这两点注意一下即可。

重点：数列的极限！

数列的极限是后面学习函数极限的基础，是高数上开始时最难理解的部分。通过今天的学习，我也只能说基本弄清楚了数列的概念，数列极限的定义，数列极限的基本运算法则。跟我大一时候比起来已经强不少了，但还不是很熟练。

首先我们看看这样一个数列：{1 / n}
毫无疑问，这个数列当n趋近于无穷时，数列的值是趋近于0的。因此，我们叫它有极限，且极限为0。

看看这个：{ n }
这个数列，当n趋近于无穷时，数列的值是没有上限的。因此，我们称，这个数列极限不存在。

所以我们现在可以感性的定义一下数列的极限了。即：当n无限增大的时候，数列元素an的变化趋势。如果an逐渐趋近于一个常数a，那么我们该数列是存在极限a的。

这个定义貌似很不错，但它仅仅只是一种感性的认识，不是数学语言，它无法进行数学计算。比如说，你能通过这个定义证明{(1 + (1/ n)) ^ n}这个数列的极限吗？很难算出它是等于e的吧
那么下面我们要用数学语言来定义数列的极限了。

上图：

这里解释一下，e是一个特别小的正数，如果|xn - a| < e 就代表xn与a的距离无限接近，比所给的任意小的e还要小！那么我们就可以说数列xn极限存在了。那么xn是数列的通项吗？当然不是！它是从第N项开始之后的任意数列的项。
也就是说，如果对于任意小的正数e，我都可以在某一项(N)之后找到所有的数列元素xn与常数a的距离都小于e，那么我就可以说，数列xn的极限是a。

其实真正理解了这个定义后，觉得也不难，主要是这个数学语言有点绕人。一定注意
不等式中的xn不是通项，而是从某一项开始后的所有数列元素
都要满足|xn - a| < e这个条件！

这个定义通常可用于证明某个数列的极限是不是某个常数！

因为数列本质上也是定义域为自然数的一个特殊函数，所以数列的极限和函数的极限联系是非常紧密的！一定要理解透彻！