HDU 1207 汉诺塔II

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1207

汉诺塔II

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Problem Description

经典的汉诺塔问题经常作为一个递归的经典例题存在。可能有人并不知道汉诺塔问题的典故。汉诺塔来源于印度传说的一个故事，上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。恩，当然这个传说并不可信，如今汉诺塔更多的是作为一个玩具存在。Gardon就收到了一个汉诺塔玩具作为生日礼物。
　　Gardon是个怕麻烦的人（恩，就是爱偷懒的人），很显然将64个圆盘逐一搬动直到所有的盘子都到达第三个柱子上很困难，所以Gardon决定作个小弊，他又找来了一根一模一样的柱子，通过这个柱子来更快的把所有的盘子移到第三个柱子上。下面的问题就是：当Gardon在一次游戏中使用了N个盘子时，他需要多少次移动才能把他们都移到第三个柱子上？很显然，在没有第四个柱子时，问题的解是2^N-1，但现在有了这个柱子的帮助，又该是多少呢？

 

Input

包含多组数据，每个数据一行，是盘子的数目N(1<=N<=64)。

 

Output

对于每组数据，输出一个数，到达目标需要的最少的移动数。

 

Sample Input

  

   1
3
12
  

 

Sample Output

  

   1
5
81
  

 

这题是汉诺塔问题的拓展问题

设f(n)为第一根柱子的n个盘子移动到第四根所需要的最少步数。第一根柱子上盘子的编号从上往下依次1,2,3,,,n，四根柱子从左到右依次编号为A,B,C,D。

当n=1时，f(1)=1;

当n=2时，A柱子上1号盘移动到B柱子上，需要1步，A柱子上2号盘移动到D柱上，需要1步，最后把B柱子上的1号移动到D柱上。共3步。f(2)=3；可以叙述为A柱上的2个盘子借助B,C柱移动到D柱上共需f(2)步。

当n>=3时，A柱子的1,,2,3,,,x共x个盘子借助C,D柱移动到B柱子上共需f(x)步，接着把A柱子上剩余的n-x个盘子借助C柱移动到D柱上（因为B柱上的盘子都比剩下的n-x个盘子小，故不能借助B柱），这是个汉诺塔问题，故由结论可知此次需要2^(n-x)-1次。最后把B柱上的x个盘子借助A,C柱移动到D柱上，需要f(x)步。故有

f(n)=min(2*f(x)+2^(n-x)-1),1<=x<n,数据量比较小，可直接枚举。注意防止加法溢出。

下面是AC代码

#include<cstdio>
#define maxn 1005
int f[maxn],n;
void init()
{
    f[1]=1;f[2]=3;
    for(int i=3;i<=64;i++)
    {
        int Min=1<<30;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(2*f[j]+(1<<(i-j))-1<Min&&(i-j)<30)//i-j<30这个条件是为了防止加法溢出
                Min=2*f[j]+(1<<(i-j))-1;
        f[i]=Min;
    }
}
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}