【CCF】有趣的数

最新推荐文章于 2024-04-25 12:11:59 发布

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本文介绍了一个有趣的数学问题，即寻找特定条件下的有趣数的数量，并通过动态规划的方法给出了解决方案。文章详细解释了如何通过递推关系计算特定长度的有趣数的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

试题名称：有趣的数
时间限制： 1.0s
内存限制： 256.0MB
问题描述：问题描述
　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出

====================================================================

做这题想了个办法：

记录数字0,1,2,3出现的位置，按照下列规则进行计算：

放0 → 最左边的1在第n位就有n-2个

放1 → 最右边的0在第n位就有4-n个

放2 → 最左边的3在第n位就有n-1个

放3 → 最右边的2在第n为就有4-n个

感觉这样做比较复杂，而且还重复了。

=====================================================================

在网上找了个动态规划的方法，研究了一晚上大概是这样理解的：

首先考虑0、1、2、3四位的方法，不考虑四位以上。

那么我可以把哪个数字放在首位呢？

0？首位不能是0

1？那么0该放哪呢？

2。挺合适

3？那么2该放哪呢？

所以我们获得了第一步骤——放2，一个数字2

现在我们来接着第一步骤继续：

我们现在成功放了2了，那么剩下0、1、3。

20？可以

23？可以

21？0该放哪里？

所以我们获得了第二步骤——放0，两个数字 2和0

以及第三步骤——放3，两个数字 2和3

我们现在先研究第二步骤——放0，两个数字 2和0

我们现在放了20了，那么剩下1、3

201？可以

203？也可以

所以我们获得了第四步骤——放1，三个数字 2 0 1

第五步骤——放3 三个数字 2 0 3

我们现在来接着研究第三步骤：放3，两个数字 2和3

230？可以，这是第五步骤

231？0该放哪里？

所以第三步骤可以和第五步骤建立联系

最后研究第四步骤:放1，三个数字 2 0 1 和第五步骤：放3 三个数字 2 0 3

2031?刚好放完四个数字

所以我们获得了第六步骤：四个数字0123放完

====================================================================

总结：

第一步骤：2

第二步骤：2 0

第三步骤：2 3

第四步骤：2 0 1

第五步骤：2 0 3

第六步骤：2 0 3 1

流程图如下：

建立一个二维数组a[n+1][6]，这样的话：

a[ ][ 0 ]就是一步骤

a[ ][ 1 ]就是二步骤

a[ ][ 2 ]就是三步骤

a[ ][ 3 ]就是四步骤

a[ ][ 4 ]就是五步骤

a[ ][ 5 ]就是六步骤

然后根据流程图我们可以写出（long mod=1000000007）

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;

运行结果如下图所示：

我们可以发现，3这个结果是N=4的时候的答案。这只是表示只有0,1,2,3的时候有多少种情况。动态规划，现在我们要让数字动起来。

怎么让数字动起来呢？在保证0,1,2,3都存在的情况下，继续添加0,1,2,3进去。那么修改一下代码：

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;

运行结果：

数字开始变化了。现在要修正出正确的结果。

要让四位数变成四位数以上，而且只能用0,1,2,3，那么肯定会有重复数字。那么在六个步骤中可不可以出现重复数字呢?

照着该图把代码修改一下：

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;

运行结果：

long long 在VC6.0运行不了。

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
	long mod=1000000007;
	int n,i,j;
	cin>>n;
	long long **status = new long long*[n+1];
	for(i=-1;++i<n+1;){
		status[i] = new long long[6];
		if(i==0){
			for(j=-1;++j<6;){
				status[0][j] = 0;
			}
		}
		else{
			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
		}
/*		for(j=-1;++j<5;){
			cout<<status[i][j]<<" ";
		}
		cout<<status[i][j]<<endl;*/
	}
	cout<<status[n][5]<<endl;
	for(i=-1;++i<n+1;){
		delete[]status[i];
	}
	delete[]status;
	return 0;
}