【CCF】有趣的数

本文介绍了一个有趣的数学问题,即寻找特定条件下的有趣数的数量,并通过动态规划的方法给出了解决方案。文章详细解释了如何通过递推关系计算特定长度的有趣数的数量。

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试题名称: 有趣的数 
时间限制: 1.0s 
内存限制: 256.0MB 
问题描述: 问题描述
  我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
  1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
  2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
  3. 最高位数字不为0。
  因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
  请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
  输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
  输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出

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做这题想了个办法:

记录数字0,1,2,3出现的位置,按照下列规则进行计算:

放0 → 最左边的1在第n位 就有n-2个

放1 → 最右边的0在第n位 就有4-n个

放2 → 最左边的3在第n位 就有n-1个

放3 → 最右边的2在第n为 就有4-n个

感觉这样做比较复杂,而且还重复了。

=====================================================================

在网上找了个动态规划的方法,研究了一晚上大概是这样理解的:

首先考虑0、1、2、3四位的方法,不考虑四位以上。

那么我可以把哪个数字放在首位呢?

0?首位不能是0

1?那么0该放哪呢?

2。挺合适

3?那么2该放哪呢?

所以我们获得了第一步骤——放2,一个数字2


现在我们来接着第一步骤继续:

我们现在成功放了2了,那么剩下0、1、3。

20?可以

23?可以

21?0该放哪里?

所以我们获得了第二步骤——放0,两个数字 2和0

以及第三步骤——放3,两个数字 2和3


我们现在先研究第二步骤——放0,两个数字 2和0

我们现在放了20了,那么剩下1、3

201?可以

203?也可以

所以我们获得了第四步骤——放1,三个数字 2 0 1

第五步骤——放3 三个数字 2 0 3


我们现在来接着研究第三步骤:放3,两个数字 2和3

230?可以,这是第五步骤

231?0该放哪里?

所以第三步骤可以和第五步骤建立联系


最后研究第四步骤:放1,三个数字 2 0 1 和 第五步骤:放3 三个数字 2 0 3

2031?刚好放完四个数字

所以我们获得了第六步骤:四个数字0123放完

====================================================================

总结:

第一步骤:2

第二步骤:2 0

第三步骤:2 3

第四步骤:2 0 1

第五步骤:2 0 3

第六步骤:2 0 3 1

流程图如下:


建立一个二维数组a[n+1][6],这样的话:

a[ ][ 0 ]就是一步骤

a[ ][ 1 ]就是二步骤

a[ ][ 2 ]就是三步骤

a[ ][ 3 ]就是四步骤

a[ ][ 4 ]就是五步骤

a[ ][ 5 ]就是六步骤

然后根据流程图我们可以写出(long mod=1000000007)

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
运行结果如下图所示:


我们可以发现,3这个结果是N=4的时候的答案。这只是表示只有0,1,2,3的时候有多少种情况。动态规划,现在我们要让数字动起来。

怎么让数字动起来呢?在保证0,1,2,3都存在的情况下,继续添加0,1,2,3进去。那么修改一下代码:

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
运行结果:


数字开始变化了。现在要修正出正确的结果。

要让四位数变成四位数以上,而且只能用0,1,2,3,那么肯定会有重复数字。那么在六个步骤中可不可以出现重复数字呢?


照着该图把代码修改一下:

			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
运行结果:



long long 在VC6.0运行不了。

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
	long mod=1000000007;
	int n,i,j;
	cin>>n;
	long long **status = new long long*[n+1];
	for(i=-1;++i<n+1;){
		status[i] = new long long[6];
		if(i==0){
			for(j=-1;++j<6;){
				status[0][j] = 0;
			}
		}
		else{
			status[i][0] = 1;
			status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
			status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
			status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
		}
/*		for(j=-1;++j<5;){
			cout<<status[i][j]<<" ";
		}
		cout<<status[i][j]<<endl;*/
	}
	cout<<status[n][5]<<endl;
	for(i=-1;++i<n+1;){
		delete[]status[i];
	}
	delete[]status;
	return 0;
}







<think>好的,我现在需要帮助用户了解CCF CSP考试中与字排序相关的题目或算法。首先,我应该回顾一下用户提到的参考资料,引用1和引用2。根据引用2,第五题通常是算法题,难度较高,接近ACM级别。字排序可能出现在前几题,比如第二或第三题,这些题目通常需要基础算法和编程技巧。 接下来,用户需要解题思路,所以我要先介绍常见的字排序问题类型。例如,可能出现统计频率并按频率排序,或者多条件排序的情况。然后,我需要给出具体的解题步骤,比如如何统计频率,如何自定义排序规则,并确保代码效率。 根据引用2,使用STL库可以提高效率,比如C++中的map和sort函。我应该建议使用这些工具,同时强调代码的准确性和效率,因为考试有时间限制。此外,用户可能需要优化思路,比如如何用哈希表统计频率,以及如何将统计结果转换为可排序的结构。 然后,我需要考虑用户可能的后续问题,比如如何处理大据量的情况,或者如何调整排序规则。因此,在相关问题部分,可以提出优化方法、不同排序规则的应用以及处理大据的方法等问题,帮助用户全面准备。 最后,要确保回答符合系统级指令,使用正确的中文和LaTeX格式,比如变量用$...$,独立公式用$$...$$,并添加引用标识。代码示例部分要使用正确的语法,可能用Python或C++,但根据引用2,C++的STL更推荐,不过用户示例用了Python,所以可能需要两种语言的示例,但根据用户问题,可能更倾向于C++,不过用户提供的示例是Python,可能需要平衡。</think>在CCF CSP考试中,字排序类题目常考察基础算法实现能力与效率优化。以下是解题思路与典型实现方法: ### 一、典型题目特征 1. **多条件排序**:例如先按出现频率降序,频率相同则按值升序 2. **大据量处理**:$n \leq 10^5$时需$O(n \log n)$算法 3. **特殊格式输出**:要求特定分隔符或对齐方式 ### 二、解题步骤 1. **据统计**:使用哈希表统计字出现频率 ```python from collections import defaultdict freq = defaultdict(int) for num in nums: freq[num] += 1 ``` 2. **排序规则实现**:自定义排序键 $$排序键 = (-频率, 值)$$ 对应Python实现: ```python sorted_items = sorted(freq.items(), key=lambda x: (-x[1], x[0])) ``` 3. **输出优化**:避免频繁字符串拼接,使用生成器表达式 ```python print(' '.join(f"{k} {v}" for k, v in sorted_items)) ``` ### 三、复杂度分析 - 时间复杂度:$O(n + m \log m)$,其中$m$为不同量 - 空间复杂度:$O(m)$,哈希表存储频率 ### 四、考试技巧 1. 优先使用STL容器(C++)或标准库(Python)实现基础功能[^2] 2. 注意据范围,选择合适的据类型(如Python无溢出问题) 3. 验证边界条件:空输入、全相同字、极值等情况
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