ccf 有趣的数（数位dp）

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数位dp初级

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本文深入探讨了一种特殊的数位组合算法，旨在计算恰好有n位的有趣的数的个数，其中有趣的数定义为数字仅包含0,1,2,3，并遵循特定的排列规则。算法采用数位DP（动态规划）方法，通过状态转移方程计算结果，并对最终答案进行取模操作以适应大数值场景。文章详细解释了状态定义、转移方程以及关键的边界条件，为读者提供了解决类似数位组合问题的实用策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

思路：

这题是典型的数位dp，不过还是没做出来。。。看了题解，发现人家是把6种状态，即

1、只含2

2、只含2、0

3、只含2、3

4、只含2、0、1

5、只含2、0、3

6、含4种数字。

这6种状态记录下来。dp[i][j]表示i位的，符合条件j的，合法的数的个数。

位数为i且只含2、0的整数可以由位数为i-1的只含2、0的整数通过在末尾添加0或者2得到，也可以由位数为i-1的只含2的整数在末尾添加0得到。

其余的状态转移方程以此类推。

要强调一点，2肯定是在首位的，因为2必须在3的前面，而0必须在1的前面，而且0不能在首位，那么显而易见的首位只能是2.

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
LL dp[1000 + 10][10];
const LL Mod = 1000000007;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = 1; // 2
        dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] * 2) % Mod;   // 0 2 （状态0第i位只能为2，状态1第i位可以为0或2，所以要乘2，后面以此类推）
        dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % Mod;     // 2 3
        dp[i][3] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] * 2) % Mod;   // 0 2 3
        dp[i][4] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][4] * 2) % Mod;  // 0 1 2
        dp[i][5] = (dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5] * 2) % Mod; // 0 1 2 3
    }
    printf("%I64d\n", dp[n][5]);
    return 0;
}