ccf 有趣的数(数位dp)

本文深入探讨了一种特殊的数位组合算法,旨在计算恰好有n位的有趣的数的个数,其中有趣的数定义为数字仅包含0,1,2,3,并遵循特定的排列规则。算法采用数位DP(动态规划)方法,通过状态转移方程计算结果,并对最终答案进行取模操作以适应大数值场景。文章详细解释了状态定义、转移方程以及关键的边界条件,为读者提供了解决类似数位组合问题的实用策略。

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问题描述
  我们把一个数称为有趣的,当且仅当:
  1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3,且这四个数字都出现过至少一次。
  2. 所有的0都出现在所有的1之前,而所有的2都出现在所有的3之前。
  3. 最高位数字不为0。
  因此,符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外,4位的有趣的数还有两个:2031和2301。
  请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大,只需要输出答案除以1000000007的余数。
输入格式
  输入只有一行,包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式
  输出只有一行,包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。
样例输入
4
样例输出
3


思路:
  这题是典型的数位dp,不过还是没做出来。。。看了题解,发现人家是把6种状态,即

1、只含2

2、只含2、0

3、只含2、3

4、只含2、0、1

5、只含2、0、3

6、含4种数字。

这6种状态记录下来。dp[i][j]表示i位的,符合条件j的,合法的数的个数。

位数为i且只含2、0的整数可以由位数为i-1的只含2、0的整数通过在末尾添加0或者2得到,也可以由位数为i-1的只含2的整数在末尾添加0得到。

其余的状态转移方程以此类推。

要强调一点,2肯定是在首位的,因为2必须在3的前面,而0必须在1的前面,而且0不能在首位,那么显而易见的首位只能是2.


代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
LL dp[1000 + 10][10];
const LL Mod = 1000000007;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = 1; // 2
        dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] * 2) % Mod;   // 0 2 (状态0第i位只能为2,状态1第i位可以为0或2,所以要乘2,后面以此类推)
        dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % Mod;     // 2 3
        dp[i][3] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3] * 2) % Mod;   // 0 2 3
        dp[i][4] = (dp[i - 1][1] + dp[i - 1][4] * 2) % Mod;  // 0 1 2
        dp[i][5] = (dp[i - 1][3] + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5] * 2) % Mod; // 0 1 2 3
    }
    printf("%I64d\n", dp[n][5]);
    return 0;
}



<think>好的,我现在需要帮助用户了解CCF CSP考试中与数字排序相关的题目或算法。首先,我应该回顾一下用户提到的参考资料,引用1和引用2。根据引用2,第五题通常是算法题,难度较高,接近ACM级别。数字排序可能出现在前几题,比如第二或第三题,这些题目通常需要基础算法和编程技巧。 接下来,用户需要解题思路,所以我要先介绍常见的数字排序问题类型。例如,可能出现统计频率并按频率排序,或者多条件排序的情况。然后,我需要给出具体的解题步骤,比如如何统计频率,如何自定义排序规则,并确保代码效率。 根据引用2,使用STL库可以提高效率,比如C++中的map和sort函。我应该建议使用这些工具,同时强调代码的准确性和效率,因为考试有时间限制。此外,用户可能需要优化思路,比如如何用哈希表统计频率,以及如何将统计结果转换为可排序的结构。 然后,我需要考虑用户可能的后续问题,比如如何处理大据量的情况,或者如何调整排序规则。因此,在相关问题部分,可以提出优化方法、不同排序规则的应用以及处理大据的方法等问题,帮助用户全面准备。 最后,要确保回答符合系统级指令,使用正确的中文和LaTeX格式,比如变量用$...$,独立公式用$$...$$,并添加引用标识。代码示例部分要使用正确的语法,可能用Python或C++,但根据引用2,C++的STL更推荐,不过用户示例用了Python,所以可能需要两种语言的示例,但根据用户问题,可能更倾向于C++,不过用户提供的示例是Python,可能需要平衡。</think>在CCF CSP考试中,数字排序类题目常考察基础算法实现能力与效率优化。以下是解题思路与典型实现方法: ### 一、典型题目特征 1. **多条件排序**:例如先按出现频率降序,频率相同则按值升序 2. **大据量处理**:$n \leq 10^5$时需$O(n \log n)$算法 3. **特殊格式输出**:要求特定分隔符或对齐方式 ### 二、解题步骤 1. **据统计**:使用哈希表统计数字出现频率 ```python from collections import defaultdict freq = defaultdict(int) for num in nums: freq[num] += 1 ``` 2. **排序规则实现**:自定义排序键 $$排序键 = (-频率, )$$ 对应Python实现: ```python sorted_items = sorted(freq.items(), key=lambda x: (-x[1], x[0])) ``` 3. **输出优化**:避免频繁字符串拼接,使用生成器表达式 ```python print(&#39; &#39;.join(f"{k} {v}" for k, v in sorted_items)) ``` ### 三、复杂度分析 - 时间复杂度:$O(n + m \log m)$,其中$m$为不同数字量 - 空间复杂度:$O(m)$,哈希表存储频率 ### 四、考试技巧 1. 优先使用STL容器(C++)或标准库(Python)实现基础功能[^2] 2. 注意据范围,选择合适的据类型(如Python无溢出问题) 3. 验证边界条件:空输入、全相同数字、极值等情况
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