那些年，那“点”事

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前言

最近发现一些有趣的事，这些事都是围绕着“点”发生的，一个个看似不起眼的“点”却有着非常大的影响力。这些点分为三类：连续点、间断点、可导点。下面将对其分别展开介绍。

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一、邻域

邻域定义为：
设 $\delta >0$，实数集 U δ ( x 0 ) = { x ∣ ∣ x − x 0 ∣ < δ } U_\delta(x_0) = \{x\mid | x-x_0|<\delta \} Uδ​(x0​)={x∣∣x−x0​∣<δ} 称为 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域，如果不必说及邻域半径 $\delta$ 的大小，则简记为 $U(x_0)$，称为 $x_0$ 的某邻域，邻域是包含 $x_0$ 左右两边 的点。默认为：邻域 = 左邻域 + 右邻域。
这里出现了第一个重要的“点”，即 $x_0$。$x_0$ 的邻域可通俗理解为由如下两部分构成的点集：

1. 到 $x_0$ 的距离 小于 $\delta$ 的点的集合。
2. $x_0$ 自身

去心邻域定义为：
U ˚ δ ( x 0 ) = { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ } \mathring{U}_\delta(x_0) = \{x\mid 0<| x-x_0|<\delta \} U˚δ​(x0​)={x∣0<∣x−x0​∣<δ} 称为 $x_0$ 的 去心 $\delta$ 邻域。$x_0$ 的去心邻域可通俗理解为由一部分构成的点集：

1. 到 $x_0$ 的距离 小于 $\delta$ 且 不等于0 的点的集合

从去心邻域和邻域的定义可以看出，去心邻域的“去心”指的就是去掉了 $x_0$ 自身 这个点。

二、极限

$f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限定义为：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，记为 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，可解释为：对任意给定的 $ϵ$，存在 $\delta$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<ϵ$. 这里需要注意的是 $x\to x_0$ 等价于 $x$ 趋于 $x_0$ 但 取不到 $x_0$ 点，这也就是 $|x-x_0|>0$ 而不是 $|x-x_0|⩾0$ 的原因。

三、连续点

函数在一点处 连续 定义为：
设$f(x)$在 $x=x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 有定义，且
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续。

函数在一点处 左连续 定义为：
设$f(x)$在 $x=x_0$ 的左侧某邻域 $x_0-\delta <x⩽x_0$ 有定义，且
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左连续。

函数在一点处 右连续 定义为：
设$f(x)$在 $x=x_0$ 的右侧某邻域 $x_0⩽x<x_0+\delta$ 有定义，且
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$$则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处右连续。

连续研究的是函数中的 点 一种性质。如上对三种连续的定义可以看出三种连续的特点为：

1. 连续：
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 左附近 的点 必须 有定义
   3). $x_0$ 点 右附近 的点 必须 有定义
2. 左连续：
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 左附近 的点 必须 有定义
3. 右连续：
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 右附近 的点 必须 有定义

基于这三种连续情况的定义，对于定义在开区间 $(a,b)$ 上的函数 $f(x)$ 来说是只能研究 $(a,b)$ 内部点的连续性的，因为 $x=a$ 与 $x=b$ 两点处 $f(x)$ 没有定义，而点有定义是连续的前提。对于定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ 来说可以研究 $(a,b)$ 内部点的连续性，也可以研究 $x=a$ 点的右连续性和 $x=b$ 点的左连续性，对于 $x=a$ 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 $x=b$ 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。

四、间断点

第一类间断点的判定标准为：

1. $f(x)$ 在 $x=x_0$的某 去心邻域 内有 定义
2. $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 、$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 都存在

第二类间断点的判定标准为：

1. $f(x)$ 在 $x=x_0$的某 去心邻域 内有 定义
2. $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 、$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 至少有一个不存在

间断研究的是某点 $x_0$ 附近点集 的一种状态，从两类间断点的判定标准就可以看出，判断是否间断的必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$的某 去心邻域 内有 定义 即 $x=x_0$ 左附近 ，$x=x_0$ 右附近 的点 两者都 有定义。对于定义在闭区间 $[a,b]$ 或者是定义在 $(a,b)$ 的函数 $f(x)$ 来说，只能研究 $(a,b)$ 内部点 的间断性，而对于 $x=a$ 点 只满足 右附近的点有定义，所以 $x=a$ 点没有间断性，对于$x=b$ 点 只满足 左附近的点有定义，所以 $x=b$ 点也没有间断性。

五、可导点

可导的定义为：
设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某 邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并设 $x_0+\Delta x\in U(x_0)$. 如果$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导。
在定义式中，若记 $x=x_0+\Delta x$，则该式可改写为：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$$

左导数的定义为：
设$f(x)$在 $x=x_0$ 的左侧某 邻域 $x_0-\delta <x⩽x_0$ 有定义. 如果$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左导数存在。

右导数的定义为：
设$f(x)$在 $x=x_0$ 的右侧某 邻域 $x_0⩽x<x_0+\delta$ 有定义. 如果$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处右导数存在。

可导研究的是函数中 点 的一种性质，类比 点 的连续性，点的可导性的特点如下：

1. 可导
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 左附近 的点 必须 有定义
   3). $x_0$ 点 右附近 的点 必须 有定义
2. 左可导：
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 左附近 的点 必须 有定义
3. 右可导：
   1). $x_0$ 点必须 有定义
   2). $x_0$ 点 右附近 的点 必须 有定义

基于这三种可导情况的定义，对于定义在开区间 $(a,b)$ 上的函数 $f(x)$ 来说是只能研究 $(a,b)$ 内部点的可导性的，因为 $x=a$ 与 $x=b$ 两点处 $f(x)$ 没有定义，而点有定义是可导的前提。对于定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ 来说可以研究 $(a,b)$ 内部点的可导性，也可以研究 $x=a$ 点的右可导性和 $x=b$ 点的左可导性，对于 $x=a$ 点其 自身 和其 右附近的点 有定义，对于 $x=b$ 点其 自身 和其 左附近的点 有定义。

经典例题

设有命题
1). 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导
2). 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
3). 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数都存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
4). 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处导函数的极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
上述命题中正确的个数为 ( 2 ) 个。

解析：
1). 错误。反证法：设 $f(x)=x-x_0$，易得 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，而 $|f(x)|=|x-x_0|$ 在 $x_0$ 处不可导。
2). 正确。
① 若 $f(x_0)>0$，则在 $x_0$ 某邻域内，$|f(x)|=f(x)$，从而$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
② 若 $f(x_0)<0$，则在 $x_0$ 某邻域内，$|f(x)|=-f(x)$，从而$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
③ 若 $f(x_0)=0$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-x_0}$ 存在，而 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-x_0}⩾0$，$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-x_0}⩽0$，可得 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{|f(x)|}{x-x_0}=0$，因此 $\underset{x\to x_0}{\lim }|\frac{|f(x)|}{x-x_0}|=\underset{x\to x_0}{\lim }|\frac{f(x)}{x-x_0}|=0$，故 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x-x_0}=0$，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。（注：$\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$ 是 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$ 充分必要条件证明见附1）
3). 正确。由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数存在，则 $f(x)$ 在$x_0$ 处左连续，即 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数存在，则 $f(x)$ 在$x_0$ 处右连续，即 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，从而$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
4). 错误。$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 研究的是 $x$ 趋于 $x_0$ 但不等于 $x_0$ 的 $f^{\prime }(x)$的极限值，与 $x_0$点自身无关，而 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的连续性，与 $x_0$点自身相关。反证法：$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{x =/ 0}\\ 1& \text{x = 0 }\end{array}$，$f^{\prime }(x)=2x$，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 存在，但 $f(x)$ 在 0 处不连续。

总结

连续、可导研究的是点的一种性质，因此当研究某点 $x_0$ 左右连续性或者某点 $x_0$ 左右可导性时需要在这点 $x_0$ 处有定义。极限和间断研究的是趋向于某点 $x_0$ 的一种态势，是一种趋向性，与某点 $x_0$ 附近的点的状况有关而与这个点 $x_0$ 自身没有关系。

附录

附1

$\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$ 是 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$ 充分必要条件的证明：
① $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$ 成立可解释为：对任意给定的 $ϵ$，存在 $\delta$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-0|<ϵ$.
② $\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$ 成立可解释为：对任意给定的 $ϵ$，存在 $\delta$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $||f(x)|-|0||<ϵ$.
可以看出 $|f(x)-0|<ϵ$ 与 $||f(x)|-|0||<ϵ$ 是等价的，因此 $\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$ 是 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$ 充分必要条件。

附2

对命题：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数都存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的一种误解进行解释。
误解：$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x⩾0\\ x-1& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 处的左导数为 $f(0_{-})=1$，在 $x=0$ 处的右导数为 $f(0_{+})=1$，而 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。
解释：$f(x)$ 在 $x=0$ 处只存在右导数，不存在左导数。因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 有左导数的前提是 当 $x<0$ 时，$f(x)=x-1$ 在 $x=0$ 处及其 $x=0$ 的左附近有定义，而 $x<0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处并没有定义，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不存在左导数。