【Math】关于期望的延伸推导和应用_数学期望的拓展-优快云博客

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这篇博客从一个简单的概率问题出发，探讨了如何计算只抽一次得分的期望值，涉及红色、绿色和蓝色球，每个颜色的得分不同。接着，作者将这个问题抽象成一般情况，给出当事件T的概率分布已知时，如何求解事件T的期望值，公式为各事件值乘以对应概率的总和。

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首先lol，从最简单的一个例子出发。

假设盒子里面有红绿蓝三种球，红色3个，绿色3个，蓝色6个。其中如果抽中红色得3分，如果抽中绿色得到3分，如果抽中蓝色得1分，问只抽一次的得分期望。

- 首先写出抽出每种球的概率：红色： $P_1 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ 绿色： $P_2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ 蓝色： $P_3 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

- 那么期望就是抽出每种颜色球的概率分别乘以抽出每种颜色球的得分，即

$E(X) =\sum_{i=0}^{+\infty}x_iP(x_i)=\sum_{i=0}^{2}x_iP(x_i)= 3\cdot \frac{1}{4} + 3\cdot \frac{1}{4} + 1\cdot \frac{1}{2} = 2$

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所以再看延伸。

已知某事件T满足 $T = (1-\frac{1}{n})^{n\bar X}$ , 其中 $n \bar X = i$ 的概率为 $P\left \{ n\bar X = i \right \} = \frac{(n\lambda)^i}{i!}e^{-n\lambda}$ , 求T事件的期望。

把T类比为上面简单版本的得分的话，对于每个i，其实就是对应每种颜色的小球，所以T事件的期望就是每个 $n \bar X = i$ 对应的T的值乘以每个 $n \bar X = i$ 发生的概率的和，即：

$E(T) = E[(1-\frac{1}{n})^{n\bar X}] = \sum_{i=0}^{+\infty}(1-\frac{1}{n})^i\cdot\frac{(n\lambda)^i}{i!}e^{-n\lambda}$