范德波尔方程详细介绍与Python实现（附说明）

引言：
在研究真空管放大器的过程中，写下了一个振动微分方程。当时人们并没有混沌或是对初始条件敏感的概念。不过，当混沌理论有一定发展后，人们重新回顾这个方程时发现它其实是个混沌方程。当时，范德波尔在 Nature 杂志报告了基于这个微分方程的霓虹灯实验，发现当驱动信号具有某种自然频率时，会听到毫无规律的“噪音”。然而方程如下所示，其中并没有随机噪声项：

他当时不明白这种无规律的振荡从何而来，后来才被搞清楚是混沌波动。多年之后，英国数学家玛丽·卡特赖特和李特尔伍德继续研究范德波尔电路。他们发现参数的不适当选择会导致方程解的不稳定性，而且变得不可预测。这就是后来弄明白了的所谓的“蝴蝶效应”。

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1. 范德波尔方程

1.1 范德波尔方程形式

范德波尔方程是单自由度线性振动系统附加非线性阻尼项的动力学方程。是最基本的自激振动方程，为典型的振动方程之一，又称为范德波尔振子或范德波尔系统。

标准的范德波尔方程可以写作：
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