后缀数组

1.建立后缀数组

//倍增思想：分治。
//将字符串分割成等长两个字符串，合并只需要O(n),总复杂度O(n*logn)
const int maxn = 100000;
char s[maxn];
int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn],n;

void build_sa(int m){
    int i,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];//c[i]:ASICC码前i+1的字符个数
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;//将第i个字符的下标填入后缀数组
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        //对第二关键字排序，加入y数组
        //y[i]:倍增元素中第二关键字第i大的的元素在新字符串中的位置（以第一关键字开头）
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;//最后k位的第二关键字均为0
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;//前n-k位的第二关键字按照sa值的大小依次加入到y数组，即按照本身字典序从小到大加入y数组
        //对第一关键字排序，对比字符排序：先按字符排序，再按下标排序
        //此处是先按x大小（第一关键字）排序，再按y大小（第二关键字）排序
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        //求出新的rank值加入x数组
        //用交换指针完成数组交换
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)//完全相同则赋相同值，否则赋不同值，按照字典序递增序赋值
            x[sa[i]]=y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k]?p-1:p++;
        if(p>=n) break;//接下来的比较将没有相同字符串，因此不需要再倍增比较
        m=p;
    }
}

2.求出height数组
height[i]：在后缀数组中排第i的后缀与排第i-1的后缀的LCP
辅助数组h[i]：以第i个字符开头的字符串与后缀数组中前一个后缀的LCP
性质：h[i]>=h[i-1]+1； h[i]=height[rank[i]]
利用该性质可以在O(n)复杂度内求解h[i]，进而求解height[i]

int Rank[maxn],height[maxn];

void getH(){
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(k) k--;
        int j=sa[Rank[i]-1];
        while(s[i+k]==s[j+k]) k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
}

例题
1.求不相交的最长重复子串
二分答案+后缀数组。
二分答案k。判断是否有长度为k的重复不相交子串。
技巧：将height数组以值为边界划分为若干块，如果存在某块中的字符串下标差$>=k$，那么存在所求。

const int maxn = 200000+10;
int s[maxn];
int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn],n;

void build_sa(int m){
    int i,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];//c[i]:ASICC码前i+1的字符个数
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;//将第i个字符的下标填入后缀数组
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        //对第二关键字排序，加入y数组
        //y[i]:倍增元素中第二关键字第i大的的元素在新字符串中的位置（以第一关键字开头）
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;//最后k位的第二关键字均为0
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;//前n-k位的第二关键字按照sa值的大小依次加入到y数组，即按照本身字典序从小到大加入y数组
        //对第一关键字排序，对比字符排序：先按字符排序，再按下标排序
        //此处是先按x大小（第一关键字）排序，再按y大小（第二关键字）排序
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        //求出新的rank值加入x数组
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)//完全相同则赋相同值，否则赋不同值，按照字典序递增序赋值
            x[sa[i]]=y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k]?p-1:p++;
        if(p>=n) break;//接下来的比较将没有相同字符串，因此不需要再倍增比较
        m=p;
    }
}

int Rank[maxn],height[maxn];

void getH(){
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(k) k--;
        int j=sa[Rank[i]-1];
        while(s[i+k]==s[j+k]) k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
}

bool judge(int x){
    int minn=sa[0],maxx=sa[0];
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(height[i]<x) maxx=minn=sa[i];
        else{
            maxx=max(maxx,sa[i]);
            minn=min(minn,sa[i]);
            if(maxx-minn>=x) return true;
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        if(n==0) break;
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&s[i]);
        if(n<10) { printf("0\n"); continue; }
        for(int i=0;i<n-1;i++) s[i]=s[i+1]-s[i]+90;
        build_sa(200);
        getH();
        int l=0,r=n;
        while(l<r){
            int m=(l+r+1)>>1;
            if(judge(m)) l=m;
            else r=m-1;
        }
        if(l<4) printf("0\n");
        else printf("%d\n",l+1);
    }
    return 0;
}

2.最长可重叠k次重复子串
二分答案+划分height数组
二分长度L，划分height数组，看是否存在一组个数大于L

const int maxn = 20000+10;
const int maxm = 1000000+10;
int n,k;
int s[maxn];
int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn];
int c[maxm];

void build_sa(int m){
    int i,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(int k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        for(int i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(int i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p-1:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}

int Rank[maxn],height[maxn];

void getH(){
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(k) k--;
        int j=sa[Rank[i]-1];
        while(s[i+k]==s[j+k]) k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
}

bool judge(int x){
    int num=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(height[i]<x) num=1;
        else num++;
        if(num>=k) return true;
    }
    return false;
}

int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&s[i]);
    build_sa(1000000);
    getH();
    int l=0,r=n;
    while(l<r){
        int m=(l+r+1)>>1;
        if(judge(m)) l=m;
        else r=m-1;
    }
    printf("%d\n",l);
    return 0;
}

3.求本质不同的子串个数
解法：重复子串即为某两个后缀的公共前缀，因此只要在计算时舍去公共前缀即可。相同的公共前缀只舍去一次，因此只需要在字典序最接近的两个字符串间舍去即可。
此题必须要在末尾加上一个字典序最小的数才能通过，不然sa数组回求错。build_sa时需要用l+1代替l。
最终有用的sa[1…l],Rank[0…l-1]，height[1…l]
sa[0]=l，无意义
height[0]=0，无意义
虽然height[1]=0，但是这是有意义的，表示它是字典序最小的字符串

const int maxn = 100000;
char s[maxn];
int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn];

void build_sa(int n,int m){
    int i,k,*x=t,*y=t2,*t;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}

int Rank[maxn],height[maxn];

void getH(int n){
    int i,j,k=0;
    for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
       for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
    return ;
}

int slove(int n){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=n-sa[i]-height[i];
    return sum;
}
int main(){
    int t;
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%s",s);
        int l=strlen(s);
        build_sa(l+1,130);
        getH(l);
        printf("%d\n",slove(l));
    }
    return 0;
}

4.求最长回文串
解法：将原串倒置，插入到原串后面，并在中间插入一个与原串不同的字符。然后求对应位置的LCP，即求对应区间的height最小值，这个先用RMQ预处理，O(1)询问即可。注意求后缀树组中[l,r]区间LCP等价于求height数组中的[l+1,r]最小值，而不是[l,r]区间最小值！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn = 5000+10;
char ch[maxn];
int s[maxn];
int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
int n;

void build_sa(int n,int m){
    int i,k,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1,x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}
int Rank[maxn],height[maxn];
void get_H(int n){
    int i,j,k=0;
    for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
        for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
}
int d[maxn][20];
void RMQ_init(int a[],int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) { d[i][0]=a[i]; }
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=n;i++)
            d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

int RMQ(int L,int R){
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;
    return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);
}

int ans,st;

int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%s",ch);
    n=strlen(ch);
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(ch[i]>='A'&&ch[i]<='Z') s[i]=ch[i]-'A'+27;
        else s[i]=ch[i]-'a'+1;
    s[n]=53;
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++) s[i]=s[2*n-i];
    s[2*n+1]=0;
    n=2*n+1;
    build_sa(n+1,54);//0-53
    get_H(n);
    RMQ_init(height,n);
    ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){//奇数回文串
        int l=Rank[i],r=Rank[n-1-i];
        if(l>r) swap(l,r);
        int tmp=2*RMQ(l+1,r)-1;//!!!height的含义是i与i-1的LCP，所以求l-r的公共前缀只需要RMQ(l+1,r),而不是RMQ(l,r)
        if(ans<tmp) ans=tmp,st=i-(tmp+1)/2+1;
    }
    for(int i=1;i<n;i++){//偶数回文串
        int l=Rank[i],r=Rank[n-i];
        if(l>r) swap(l,r);
        int tmp=2*RMQ(l+1,r);
        if(ans<tmp) ans=tmp,st=i-tmp/2;
    }
    for(int i=st;i<st+ans;i++) printf("%c",ch[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

5.求本质不同的回文串
解法：在height数组中遍历，记录当前回文串与其字典序最接近的回文串长度，如果已经加入到ans中，那么减去该部分长度即可。使用vis数组保证只记录一次

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N maxn
#define PII pair<ll,ll>
#include<map>
#include<vector>
#define MP make_pair
#include<map>
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100000+10;
int T;
char ch[maxn];
int n,s[maxn<<1],sa[maxn<<1],t[maxn<<1],t2[maxn<<1],c[maxn<<1];

void build_sa(int n,int m){
    int i,k,*x=t,*y=t2;
    for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
    for(i=0;i<n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[i]]]=i;
    for(k=1;k<=n;k<<=1){
        int p=0;
        for(i=n-k;i<n;i++) y[p++]=i;
        for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
        for(i=0;i<m;i++) c[i]=0;
        for(i=0;i<n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(i=1;i<m;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
        swap(x,y);
        p=1; x[sa[0]]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            x[sa[i]]=(y[sa[i-1]]==y[sa[i]]&&y[sa[i-1]+k]==y[sa[i]+k])?p-1:p++;
        if(p>=n) break;
        m=p;
    }
}
int Rank[maxn<<1],height[maxn<<1];
void getH(int n){
    int i,j,k=0;
    for(i=1;i<=n;i++) { Rank[sa[i]]=i;  }
    for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
        for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1];s[i+k]==s[j+k];k++);
    return;
}
int d[maxn<<1][20];
void RMQ_init(int a[],int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i][0]=a[i];
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=n;i++)
            d[i][j]=min(d[i][j-1],d[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int RMQ(int L,int R){
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=R-L+1) k++;
    return min(d[L][k],d[R-(1<<k)+1][k]);
}

bool vis[maxn<<1];
int ans;

int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    int cas=0;
    while(T--){
        scanf("%s",ch);
        int l=strlen(ch);
        for(int i=0;i<l;i++) s[i]=ch[i]-'a'+1;
        s[l]=27;
        for(int i=l+1;i<=2*l;i++) s[i]=s[2*l-i];
        s[2*l+1]=0;
        n=2*l+1;
        build_sa(n+1,28);
        getH(n);
        RMQ_init(height,n);
        int st=INF;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(s[sa[i]]==27) continue;
            st=min(st,height[i]);
            if(vis[n-1-sa[i]]){
                int l=i,r=Rank[n-1-sa[i]];
                if(l>r) swap(l,r);
                int t=RMQ(l+1,r);
                if(t>st) { ans+=(t-st); st=t; }
            }
            else vis[sa[i]]=1;
        }
        st=INF;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(s[sa[i]]==27) continue;
            st=min(st,height[i]);
            if(vis[n-sa[i]]){
                int l=i,r=Rank[n-sa[i]];
                if(l>r) swap(l,r);
                int t=RMQ(l+1,r);
                if(t>st) { ans+=(t-st); st=t; }
            }
            else vis[sa[i]]=1;
        }
        printf("Case #%d: %d\n",++cas,ans);
    }
    return 0;
}