【High 翻天】Higer-order Networks with Battiston Federico （7）

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传播与社会动力学（1）

模拟人类行为的动态过程一直是许多研究的焦点，其中社会关系和交互通常被认为是一种潜在结构，是高阶方法的天然试验场。

传播

网络传播过程时建立在经典的流行病学模型基础上的。经典的流行病学模型主要可分为两大类，即

• SIR （Susceptible–Infected–Recovered）模型。
• SIS （Susceptible–Infected–Susceptible）模型。

这两个模型中，易感个体（S）可通过与感染个体（I）相互作用而感染。前者个体在一定时间后获得对再次感染的免疫力，这些免疫个体即（R）不再参与传播，因此该模型也被称为吸收状态（absorbing state）；后者个体在 S 和 I 之间相互切换，最终达到一个非零的稳定状态。

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基于这两个基础模型也有许多变形，及相关处理方法（如：平均场法、异构平均场法和微观马氏链法），在此不赘述。

simplicial complexes

在simplicial contagion model¹ 中，simplicial complexes 被用来表示传染动态发生在其之上的社会结构。考虑每个组交互中包含的所有子交互，该模型的动态依赖于不同的感染渠道（单纯型）。通过这些渠道，以不同的传播率发生传染。

通过一组控制参数 ${\beta }_i,i=1,\cdots ,D$ 等对 $D$ 阶 SIS 型-模型进行控制，该参数即单位时间的感染概率。平均场法很适合用于此类高阶情形，感染节点的静止密度演化的一般方程如下：$$\dot{\rho }(t)=-\mu \rho (t)+\sum _{d=1}^D{\beta }_d[k_d]{\rho }^d(t)(1-\rho (t)).$$ 该方法证实了在synthetic random simplicial complexes 上得到的结果：在具有均匀度分布特征的社会结构上，稳态动态、位置和过渡性质可以被分析预测。

hypergraphs

与 simplicial complexes 相比，超图可以用来描述只发生在组中的交互，从而解除了必须包括组内所有子交互的限制。因此，超边可以有效地用于表示集群或社区。超图也被用来模拟协作网络中的知识扩散。将社区建模为超边的想法中，使用超图的节点来表示个人，使用超边来表示节点所属的不同社区。作者²研究了一个SIS模型在连续时间马尔可夫链形式下的超图上的行为，其中感染和恢复都服从泊松过程。

基于 SIS 型-模型的超图演化的一般方程：$${\dot{\rho }}_k(t)=-\mu {\rho }_k(t)+{\beta }_k(1-{\rho }_k(t))k{\Theta }^{d-1}.$$ 此外，基于类似的 SIS 的框架，可将临界质量动力学明确地包含在传染过程中，从而推广了上述传染过程。事实上，实验已经显示了启动社会变革所需的临界质量水平的不同值，即通过承诺的少数人将现有的平衡恢复到新的平衡。

基于 SIR 模型的不同扩展引入超图。将个体置于一个谣言传播的框架中，个体分为三个标准类别：无知（S）、传播者（I）和扼杀者（R）。

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1. I. Iacopini, G. Petri, A. Barrat, V. Latora, Simplicial models of social contagion, Nature Commun. 10 (1) (2019) 2485. ↩︎

2. Á. Bodó, G.Y. Katona, P.L. Simon, SIS epidemic propagation on hypergraphs, Bull. Math. Biol. 78 (4) (2016) 713–735. ↩︎