算法的时间复杂度分析

算法的时间复杂度分析 & 递归函数时间复杂度分析

算法的时间复杂度分析

1.算法耗费的时间、语句频度、输入规模
在实际中，一个算法所需耗费的时间 = 算法中所有语句的执行时间之和
而，
每条语句的执行时间= 每条语句执行一次所需时间 * 每条语句的执行次数(语句频度)；

因为每条语句执行一次所需时间取决于机器执行指令的性能、速度等难以确定的因素，而为了独立于机器的软、硬件系统来分析算法的时间耗费，
我们假设每条语句执行一次所需时间均为单位时间，那么，一个算法的时间规模就与其所有语句的频度之和相关。

输入规模：算法求解问题的输入量称为问题的规模，一般用一整数来表示：n = 1, 2, 3 …k

那么，对于输入规模为 n 的算法，其语句频度之和可记作：T(n)
例：
(1) for(i=0; i＜n;j++) n+1
(2) for (j=0;j＜n;j++) n(n+1)
(3) C[i][j]=0; n^2
(4) for (k=0; k＜n; k++) n^2(n+1)
(5) C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]; n^3
分析：
语句(1)的循环控制变量i要增加到n，测试到i=n成立才会终止。故它的频度是n+1。但是它的循环体却只能执行n次。
语句(2)作为语句(1)循环体内的语句应该执行n次，但语句(2)本身要执行n+1次，所以语句(2)的频度是n(n+1)。
同理可得语句(3)，(4)和(5)的频度分别是n^2，n^2(n+1)和n^3。
该算法中所有语句的频度之和(即算法的时间耗费)为： T(n)=2n^3+3n^2+2n+1 (1.1)
2. 时间复杂度
概念：
如某算法的语句频度之和为 T(n)，那么，当 n 趋于无穷大虹，若存在函数 f(n)使得 T(n)/f(n)的极限值为不等于0的常数， 则称： f(n) 是 T(n) 的同数量级函数，记作：T(n) = O(f(n)) 称： O(f(n)) 为该算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
举例说明时间复杂度的求法：
交换i和j的内容。
Temp=i;
i=j;
j=temp;
以上三条单个语句的频度