关于感知学习模型机中空间任一点到超平面的距离公式的推导过程

最新推荐文章于 2025-05-24 09:31:18 发布
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文章标签： 机器学习
原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/amyaguang/article/details/46043885?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_pa
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摘自： https://blog.youkuaiyun.com/amyaguang/article/details/46043885?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param

公式如下

在这里插入图片描述

推导过程如下

在这里插入图片描述

孤舟听雨
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统计学习方法-感知机、超平面
zzyyyyyww的博客
10-05 1673
目录 一、感知机 超平面介绍 感知机损失函数确定 感知机的原始形式 感知机的对偶形式 一、感知机 感知机是一种线性二分类模型，其思想是：对于输入空间，找到一个可以将空间分为正负两类的分离超平面，这个超平面其实就是需要的感知机。感知机分为原始形式和对偶形式。 超平面介绍 超平面：类似与一维直线上的点（0维），二维平面上的直线（1维），三维空间上的平面（2维），但是超平面一定过原点，所以，它（k-1 dim）可以将k dim空间平分成均匀的两份。 超平面公式：假设超平面法向量为，超...
笔记-感知机、超平面
K_Albert的博客
10-07 4971
1.感知机感知机是一种二分类的线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为实例的类别{+1，-1}。感知机要求数据集是线性可分的。 按照统计学习三要素模型、策略、算法的顺序来介绍。2.感知机模型由输入空间到输出空间的如下函数： f(x)=sign(ω⋅x+b)f(x)=sign(\omega\cdot x+b) 其中ω，b\omega，b 为模型参数，ω⊂Rn\omega\subset R^n叫
感知学习模型机中空间任一点到超平面的距离公式的推导
code_caq的博客
03-27 960
出自：http://blog.youkuaiyun.com/amyaguang/article/details/46043885 感觉写的很好！相信看感知机的时候大家都会遇到这个问题，为什么距离是这个。 在感知机模型中，输入空间中任意一点 到超平面S的距离：                                         其推导过程如下：
【ML学习笔记】5：机器学习中的数学基础5(张量,哈达玛积,生成子空间,超平面,范数)
大桔骑士的学习笔记
11-22 3875
向量/矩阵/张量向量向量可以表示成一维数组，每个分量可以理解为向量所表示的点在空间中坐标的分量。矩阵矩阵可以表示成二维数组，上节理解了矩阵可以理解为线性映射在特定基下的一种定量描述。张量张量可以表示成任意维的数组，张量是向量概念向更高阶次的推广，向量是一维张量。 但不能把矩阵简单的看成二维张量，张量是几何的，矩阵是代数的。二阶张量和矩阵概念不同，但可以建立联系，矩阵可以描述二阶张量的一些特性(在确
【学习笔记】《模式识别》3：线性分类器
weixin_43894455的博客
11-13 2956
模式识别第三部分内容：线性分类器
机器学习算法之感知机模型算法原理及实现
朱师傅的博客
11-26 1024
机器学习算法之感知机模型算法原理及实现1 算法原理1.1 感知机模型1.2 感知机学习策略1.2.1 损失函数1.2.2 损失函数推导1.3 感知机学习算法1.3.1 感知机学习算法的原始形式1.3.2 感知机学习算法的对偶形式1.3.3两种形式的对比1.4 随机梯度下降1.5 算法收敛性1.5.1 Novikoff定理1.5.2 证明算法手工实现Perceptorn手工实现原始形式手工实现对偶形...
机器学习数学公式推导之线性回归
QuantumYou的博客
09-01 1755
文章目录线性回归一、最小二乘法1.1 范数的概念1.2 最小二乘法的推导1.3 几何意义二、噪声为高斯分布的 MLE2.1 LSE（最小二乘估计）2.2 MLE（极大似然估计）2.3 LSE与MLE的联系与区别三、权重先验也为高斯分布的 MAP四、正则化4.1 L1 Lasso4.2 L2 Ridge4.3 MAP（极大后验估计）LSE（最小二乘估计）五、小结 本文参考 B站UP: shuhuai008 🌹🌹 P9 系列三 线性回归1-最小二乘法及其几何意义 线性回归 假设数据集为： D={(x1,
【吃瓜教程】《机器学习公式详解》西瓜书与南瓜书公式推导
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07-13 4619
【吃瓜教程】《机器学习公式详解》西瓜书与南瓜书公式推导 2021年7月11日 第0章-导学 深度学习：狭义地来说，就是具有较多层的神经网络。 整个学习过程; 先看西瓜书，在看 Datawhale吃瓜教程. ，最后要看南瓜书。 2021年7月12日 第一章 绪论 1.1引言 机器学习：将“经验”以“数据”的方式存储下来 ⇒\Rightarrow⇒产生模型算法-学习算法 ⇒\Rightarrow⇒ 产生模型-分析新的数据-给出判断 训练模型-学习器 1.2基本术语 样本：记录一个事件或者一个对象的描述，通常假
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空间任一点到超平面的距离公式的推导
csdn_lzw的博客
05-20 1369
转载自： https://blog.youkuaiyun.com/wszzzx/article/details/75006212
空间中任一点到超平面的距离公式的推导过程
Chaolei3的博客
12-20 6782
转载别人的博客，由于看到的也是别人转载的，具体地址已不可考。所以对原作者说声抱歉，没能附上转载的地址。 在这里对上面的公式推导做个解释，由于2个向量的点积的公式为，而向量想x0x1又与超平面平行，所以2者形成的夹角0或者180，也就是cosα=+1或者-1，所以2个向量点积的绝对值为2者模的乘积。也就是L2范数那一行成立的理由。
超平面、半空间、多面体的辨析
hyl1181的博客
12-21 3377
超平面 超平面是具有以下形式的集合：，其中。即超平面是非平凡的线性方程的解空间，超平面是一个仿射集合。 中由法向量和超平面上一点确定的超平面。对于超平面上任意一点（如深色箭头所示）都垂直于。 半空间 一个超平面将划分为两个半空间。（闭的）半空间是具有以下形式的集合：，其中。即半空间是非平凡的线性不等式的解空间，半平面是凸的，但不是仿射的。 上由定义的超平面决定了两个半空间。由决定的半空间(无阴影)是向扩展。由确定的半空间（阴影所示）向方向扩展。向量是这个半空间向...
超平面，半空间，多面体
weixin_30659829的博客
05-27 978
它们都是凸集 超平面（hyperplane）的定义： {x∣aTx=b}\{x\mid a^{T}x=b\}{x∣aTx=b} 其中 aaa 是一个非零向量，bbb 是实数，即 a≠0,b∈Ra\neq 0, b\in Ra̸​=0,b∈R. 即一个方程。 几何意义...
分段线性判别函数&&模式空间和权空间
qq_36183496的博客
10-15 1944
线性判别函数在进行分类决策时是最简单有效的，但在实际应用中，常常会出现不能用线性判别函数直接进行分类的情况。 采用广义线性判别函数的概念，可以通过增加维数来得到线性判别，但维数的大量增加会使在低维空间里在解析和计算上行得通的方法在高维空间遇到困难，增加计算的复杂性。 引入分段线性判别函数的判别过程，它比一般的线性判别函数的错误率小，但又比非线性判别函数简单。 用判别函数分类 可用一个二次判别...
【漫话机器学习系列】275.GrabCut 算法——用于去除图片背景（Grabcut For Removing Image Backgrounds）
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05-24 712
GrabCut 是由微软剑桥实验室于 2004 年提出的一种交互式图像前景分割算法。相比传统的图像分割方法，它的亮点是：支持用户轻松交互，只需简单画个矩形；基于高斯混合模型（GMM）与图割（Graph Cut）优化；分割效果细腻，适用于复杂背景下的图像处理。GrabCut 是一项结合图割与 GMM 的强大图像分割算法；通过手动圈定目标区域，就能自动判断前景与背景；适合中等难度的抠图任务，是 OpenCV 实战中的常用技能之一。
飞桨（PaddlePaddle）在机器学习全流程（数据采集、处理、标注、建模、分析、优化）
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05-23 1575
飞桨通过全流程工具链和中文生态优势，尤其适合国内政务、金融、教育等领域的落地场景，同时提供从数据到部署的一站式解决方案，降低企业级AI开发门槛。
【漫话机器学习系列】276.梯度悬崖(Gradient Cliff)
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05-24 764
《深度学习中的梯度悬崖问题解析》摘要 本文深入剖析了深度学习优化过程中的梯度悬崖现象。梯度悬崖指损失函数曲线出现急剧下降区域，导致梯度骤增，使优化算法可能越过最优解，引发训练不稳定甚至失败。文章图文并茂地展示了梯度悬崖的形成机制，分析了其成因包括不当的初始参数设置、过高学习率、复杂损失函数形状等。针对性地提出了五项解决方案：合理设置学习率及衰减策略、使用梯度裁剪技术、优化损失函数设计、选用平滑激活函数，以及采用优化初始化策略。通过系统性地理解并应对梯度悬崖问题，可有效提升模型训练的稳定性和收敛效果。
感知机模型
03-12
<think>好的，我现在要帮用户了解感知机模型的相关信息，包括原理、实现方式和应用场景。首先，我需要回忆一下感知机的基础知识。感知机是Frank Rosenblatt在1957年提出的，是二分类的线性分类模型，属于监督学习算法。它的基本原理是通过调整权重和偏置，找到一个超平面将数据分开。 根据用户提供的引用资料，特别是引用[2]提到，感知机模型简单，但只能处理线性可分的数据集，误分类驱动，解不唯一，且对离群点敏感。这说明在讲解原理时，需要强调其线性可分的前提和基于误分类的更新策略。 接下来，我需要整理感知机的工作原理。输入特征向量，权重求和加上偏置，通过激活函数（如符号函数）输出预测结果。损失函数是基于误分类点的距离之和，优化方法使用随机梯度下降。这部分可以结合引用[3]中的内容，它提到了感知机的定义和学习策略。 然后是实现方式。用户给的引用中有Python实现的例子，比如引用[2]和[3]。需要展示一个简单的代码示例，包括初始化参数、定义激活函数、迭代更新权重和偏置的过程。代码要符合Python语法，并且注释清楚每一步的作用，方便用户理解。 应用场景方面，感知机适合线性可分的问题，如简单的文本分类、图像二分类。但因为局限性，现在更多作为神经网络的基础组件，比如MLP中的神经元，这点引用[1]提到MLP多层感知机模型，所以可以指出感知机在复杂模型中的基础作用。 同时，用户可能想知道感知机的优缺点和扩展。引用[2]里提到感知机的局限，如无法处理非线性数据，解不唯一，对离群点敏感。因此需要说明后续的改进算法，如SVM、神经网络等，这些扩展了感知机的应用范围。 用户的问题可能还隐含想了解感知机与其他模型的区别，比如逻辑回归。虽然不在引用中，但可以适当提及，但如果没有足够信息则避免猜测。 最后，生成相关问题时要围绕用户可能进一步想知道的内容，比如与其他模型的对比、数学推导、实际案例等，确保问题有针对性，帮助用户深入学习。 总结步骤：先介绍感知机的基本原理，包括模型结构、学习策略；然后展示代码实现；接着讨论应用场景和局限性；最后生成相关问题引导进一步学习。需要确保所有数学公式用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，并检查引用标注的位置是否合适。</think>### 感知机模型详解 #### 一、算法原理 1. **模型定义** 感知机（Perceptron）是二分类线性分类模型，输入为特征向量，输出为类别标签（$+1$或$-1$）。其判别函数为： $$f(x) = \text{sign}(w \cdot x + b)$$ 其中$w$为权重向量，$b$为偏置，$\text{sign}$为符号函数[^3]。 2. **学习策略** - **损失函数**：基于误分类点到超平面的总距离，定义为： $$L(w,b) = -\sum_{x_i \in M} y_i(w \cdot x_i + b)$$ $M$为误分类点集合，$y_i$为样本标签。 - **优化方法**：随机梯度下降（SGD），权重更新规则为： $$w \leftarrow w + \eta y_i x_i$$ $$b \leftarrow b + \eta y_i$$ $\eta$为学习率，仅对误分类点更新参数[^3][^2]。 #### 二、实现方式（Python示例） ```python import numpy as np class Perceptron: def __init__(self, lr=0.01, epochs=100): self.lr = lr # 学习率 self.epochs = epochs # 迭代次数 self.weights = None # 权重向量 self.bias = 0 # 偏置 def activate(self, x): return np.where(x >= 0, 1, -1) # 符号函数 def fit(self, X, y): n_samples, n_features = X.shape self.weights = np.zeros(n_features) for _ in range(self.epochs): for idx, x_i in enumerate(X): linear_output = np.dot(x_i, self.weights) + self.bias y_pred = self.activate(linear_output) if y_pred != y[idx]: # 误分类时更新参数 self.weights += self.lr * y[idx] * x_i self.bias += self.lr * y[idx] def predict(self, X): linear_output = np.dot(X, self.weights) + self.bias return self.activate(linear_output) ``` [^2] #### 三、应用场景与局限性 1. **适用场景** - 线性可分数据：如简单文本分类（垃圾邮件识别）、图像二分类（手写数字0/1识别） - 神经网络基础：作为神经元的基础结构，用于多层感知机（MLP）[^1] 2. **局限性** - 无法处理线性不可分问题（如异或问题） - 对离群点敏感，解不唯一 - 需人工设计特征，无法学习复杂非线性关系 #### 四、扩展与改进 - **核方法**：通过核函数映射到高维空间处理线性不可分问题 - **多层感知机**（MLP）：引入隐藏层和非线性激活函数，解决复杂分类问题[^1] - **支持向量机**（SVM）：最大化分类间隔，提高泛化能力
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