ZJU2136 Longest Ordered Subsequence

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

网吧猪

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文章标签： ZJU 动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013040821/article/details/46625825

本文详细解析了一个经典的最长上升子序列问题，通过使用一位数组递推的方法解决，并给出了代码片段的逐行分析，深入理解算法的核心逻辑。

这是一道经典的最长上升子序列问题，首先确定阶段和状态。然而每个阶段仅仅有一个状态，使用一位数组递推。
令 dp[i] 表示以 i 结尾的最长上升子序列的长度，则有

dp[i] = { max(dp[j]) + 1 | 0 <= j <i, seq[i] > seq[j] }

边界 dp[0] = 1 表示首个为结尾的最长串长度为1。

#define LOCAL
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string.h>
using namespace std;

const int maxn = 1005;

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    int seq[maxn], dp[maxn], i, j;
    int kase; cin >> kase;
    while (kase--) {
        int N; cin >> N;
        for (i = 0; i < N; ++i) cin >> seq[i];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for (i = 1; i < N; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (j = 0; j < i; ++j) {
                if (seq[j] < seq[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) 
                    dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }
        int maxnum = 0;
        for (i = 0; i < N; ++i) {
            if (dp[i] > maxnum)
                maxnum = dp[i];
        }
        cout << maxnum << endl;

        if (kase != 0) cout << endl;
    }
    return 0;
}

分析如下代码片段：

        for (i = 1; i < N; ++i) {
            dp[i] = 1;
            for (j = 0; j < i; ++j) {
                if (seq[j] < seq[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) 
                    dp[i] = dp[j] + 1;
            }
        }

第一个 for 循环从 1 到 N-1，计算从第二个到最后一个数字结尾的最长递增串长度，对应于转移方程中的 max(dp[j])，即遍历找到 dp 数组中 i 前面最大的且数字要小于 i 的，然后 +1。对应于 dp[i] = dp[j] + 1，已经讲得很明白了