Treap

Treap是一棵二叉搜索树，只是每个节点多了一个优先级fix，对于每个节点，该节点的优先级小于等于其所有孩子的优先级。

当然，引入优先级fix的目的就是防止BST退化成一条链，从而影响查找效率。

 

所以，这样看来就是：Treap中对于节点的关键字key来说，它是一棵二叉搜索树，而对于fix来说，它是一个最小堆，所以

Treap可以看成是Tree+Heap，只是这里的Heap不一定是完全二叉树。Treap的平均时间复杂度为log(n).

 

Treap跟笛卡尔树几乎是一模一样的，只是用途不同。

笛卡尔树是把已有的一些（key, fix）二元组拿来构造树，然后利用构树过程和构造好的树来解决LCA,RMQ等等问题。而

Treap的目的只是对一些key进行二叉搜索，但是为了保证树的平衡性，为每个key随机地额外增加了一个fix属性，这样从概

率上来讲可以让这棵树更加平衡。

 

对于Treap来说，主要有几大操作：插入，删除，查找，旋转，找第K大元素，找关键字x的排名，计算Treap的高度，删除

Treap，其它的操作比如合并，分离，反转等等以后再说，另外，对于Treap来说，它的中序遍历的结果就是按照关键字从小到

大的顺序排列的。

 

 

下面用一个题来看看Treap的各种操作。

题目：http://poj.org/problem?id=1442

 

题意：给一个序列，然后给出m个查询，每次查询输入一个数x，对于第i次查询，输出前x个数中第i大的关键字的值。

 

分析：我们可以用其它数据结构解决，这里我们先学用Treap怎么做吧，方法就是：每次我们都插入前x个数中没有插过的，当

然程序中我们用index来划分界限，然后输出Kth(root,i)即可。

    #include <iostream>  
    #include <string.h>  
    #include <stdlib.h>  
    #include <stdio.h>  
      
    using namespace std;  
      
    struct Treap  
    {  
        int size;  
        int key,fix;  
        Treap *ch[2];  
        Treap(int key)  
        {  
            size=1;  
            fix=rand();  
            this->key=key;  
            ch[0]=ch[1]=NULL;  
        }  
        int compare(int x) const  
        {  
            if(x==key) return -1;  
            return x<key? 0:1;  
        }  
        void Maintain()  
        {  
            size=1;  
            if(ch[0]!=NULL) size+=ch[0]->size;  
            if(ch[1]!=NULL) size+=ch[1]->size;  
        }  
    };  
      
    void Rotate(Treap* &t,int d)  
    {  
        Treap *k=t->ch[d^1];  
        t->ch[d^1]=k->ch[d];  
        k->ch[d]=t;  
        t->Maintain();  //必须先维护t，再维护k，因为此时t是k的子节点  
        k->Maintain();  
        t=k;  
    }  
      
    void Insert(Treap* &t,int x)  
    {  
        if(t==NULL) t=new Treap(x);  
        else  
        {  
            //int d=t->compare(x);   //如果值相等的元素只插入一个  
            int d=x < t->key ? 0:1;  //如果值相等的元素都插入  
            Insert(t->ch[d],x);  
            if(t->ch[d]->fix > t->fix)  
                Rotate(t,d^1);  
        }  
        t->Maintain();  
    }  
      
    //一般来说，在调用删除函数之前要先用Find()函数判断该元素是否存在  
    void Delete(Treap* &t,int x)  
    {  
        int d=t->compare(x);  
        if(d==-1)  
        {  
            Treap *tmp=t;  
            if(t->ch[0]==NULL)  
            {  
                t=t->ch[1];  
                delete tmp;  
                tmp=NULL;  
            }  
            else if(t->ch[1]==NULL)  
            {  
                t=t->ch[0];  
                delete tmp;  
                tmp=NULL;  
            }  
            else  
            {  
                int k=t->ch[0]->fix > t->ch[1]->fix ? 1:0;  
                Rotate(t,k);  
                Delete(t->ch[k],x);  
            }  
        }  
        else Delete(t->ch[d],x);  
        if(t!=NULL) t->Maintain();  
    }  
      
    bool Find(Treap *t,int x)  
    {  
        while(t!=NULL)  
        {  
            int d=t->compare(x);  
            if(d==-1) return true;  
            t=t->ch[d];  
        }  
        return false;  
    }  
      
    int Kth(Treap *t,int k)  
    {  
        if(t==NULL||k<=0||k>t->size)  
            return -1;  
        if(t->ch[0]==NULL&&k==1)  
            return t->key;  
        if(t->ch[0]==NULL)  
            return Kth(t->ch[1],k-1);  
        if(t->ch[0]->size>=k)  
            return Kth(t->ch[0],k);  
        if(t->ch[0]->size+1==k)  
            return t->key;  
        return Kth(t->ch[1],k-1-t->ch[0]->size);  
    }  
      
   int Rank(Treap *t,int x) //小于等于x的个数
    {


    if(t == NULL) return 0;
    if(x < t->key)
    {
        return Rank(t->ch[0], x);
    }
    else {
        int r = t->ch[0]==NULL? 1 : (t->ch[0]->size) + 1;
        return r + Rank(t->ch[1],x);
    }
    }
      
    void DeleteTreap(Treap* &t)  
    {  
        if(t==NULL) return;  
        if(t->ch[0]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[0]);  
        if(t->ch[1]!=NULL) DeleteTreap(t->ch[1]);  
        delete t;  
        t=NULL;  
    }  
      
    void Print(Treap *t)  
    {  
        if(t==NULL) return;  
        Print(t->ch[0]);  
        cout<<t->key<<endl;  
        Print(t->ch[1]);  
    }  
      
    int val[1000005];  
      
    int main()  
    {  
        int n,x,m;  
        while(~scanf("%d%d",&n,&m))  
        {  
            for(int i=1; i<=n; i++)  
                scanf("%d",&val[i]);  
            int index=1;  
            Treap *root=NULL;  
            for(int i=1; i<=m; i++)  
            {  
                scanf("%d",&x);  
                for(int j=index; j<=x; j++)  
                    Insert(root,val[j]);  
                index=x+1;  
                printf("%d\n",Kth(root,i));  
            }  
            DeleteTreap(root);  
        }  
        return 0;  
    }