省选预备营-Day1（数据结构）总结

最新推荐文章于 2025-07-11 22:48:01 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012972031/article/details/86670816

本文深入探讨了数据结构如李超树、左偏树、线段树等，及算法如Splay、fhqTreap的原理与应用，涵盖三维偏序问题、哈希表树状数组、可持久化线段树、动态树等高级主题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、李超树

概念：一种维护平面上若干直线，支持查询覆盖某个点的最高/最低直线的线段树.
原理：维护直线（建立在线段树、树链剖分的基础上）

二、左偏树（可并堆）

前置知识：

外结点:左子树或右子树为空的结点
距离:左偏树种一个结点x到它子结点中最近外结点经过的边数，记为dist(x)（若外结点距离为0，空结点(null)的距离为-1）

概念：支持O(logn)合并的堆
性质：

堆性质
（左偏性质）左偏树中任意结点满足它的左子树的距离大于等于右子树的距离。即 $dist(left(x))\geq dist(right(x))$
左偏树中任意结点的左子树和右子树都是左偏树

定义：具有左偏性质的堆有序二叉树

三、线段树合并

概念：对于一个结点，若两线段树都有，则直接合并信息，若只有一个有，直接返回即可
原理：一般重合部分较小
均摊时间复杂度： $O(logn)$

四、Splay

常用用途：维护可快速提取区间的数列，以及实现LCT

五、fhqTreap

概念：分为split和merge两种操作的平衡树
原理：在merge方法内利用rand()维护平衡性，split方法可按权值/子树大小进行事务（此时权值小于等于k在左子树中，大于等于k在右子树中）

六、三维偏序问题（特殊）

题面：给定三个长度为n的排列A,B,C，你需要统计有多少对(i,j)满足 $A_{i}<A_{j}$ 且 $B_{i}<B_{j}$ 且 $C_{i}<C_{j}$ 。（ $n\leq 5\times 10^{6}$ ）
原理：利用容斥原理特殊化后，正常解题

七、哈希表树状数组（动态开点树状数组）

例题：P4390 [BOI2007]Mokia 摩基亚

八、可持久化线段树（主席树）

前置知识：

权值线段树：记录权值的线段树，a[1~n]需要离散化

常用用途：二维数点
例题：P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）

九、动态树（LCT）

例题：动态图连通性（最大瓶颈路问题）

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