hdu 3507 Print Article(斜率优化dp)

题意：把一堆数分成几堆，每堆的代价由这个式子：，算出。求总代价最小。

做法：另dp[i]是分到第i个总代价最小，那么转移方程，dp[i] = dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M。可以发现递推复杂度是o(n^2)。

我们变形一下这个式子：dp[i]-M-sum[i]^2 = dp[j]+sum[j]^2-2sum[i]*sum[j]，等式左边都是不变量，即要求等式右边的最小值对应的j，我们另y = dp[j]+sum[j]^2，x = sum[j]，对于不同的j来说，x和y都是确定的，再另k = 2*sum[i]，k对于当前要求的i来说也是一个定值，那么我们的目标就是要求y + kx最小，假设对于2个不同的位置来说，(x1,y1),(x2,y2)，如果前者要比后者小，那么就是y1-k*x1 < y2-k*x2，即

(y1-y2)/(x1-x2) < k，而k是单调递增的，所以我们可以维护一个单调队列来递推最优解，队列里的点都满足斜率变大，所以说是一个下凸的，如果新加进来的点与前一个点不满足下凸，那么前一个点必定可以删除，因为如果斜率大于等于k，再前面一个点比前一点优，如果小于k，那么新加入的这个点就比前一点优了。对于当前的k来说，因为队列里的斜率是单调递增的，通过前面的式子可以得知，如果斜率小于当前k，那么后一个点就更优，我们就可以移动head的指针，直至斜率大于当前k，因为大于了意味着后一个点不比当前点优。

AC代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<string.h>
#include<string>
#include<sstream>
#include<bitset>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define eps 1e-8
#define NMAX 201000
#define MOD 1000000007
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define PI acos(-1)
template<class T>
inline void scan_d(T &ret)
{
    char c;
    int flag = 0;
    ret=0;
    while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c == '-')
    {
        flag = 1;
        c = getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0'),c=getchar();
    if(flag) ret = -ret;
}
const int maxn = 500000+10;
int sum[maxn],q[maxn],dp[maxn];

inline int gety(int a)
{
    return dp[a]+sum[a]*sum[a];
}

inline int getx(int a)
{
    return sum[a];
}

int suby(int a, int b)
{
    return gety(a)-gety(b);
}

int subx(int a, int b)
{
    return getx(a)-getx(b);
}

int main()
{
#ifdef GLQ
    freopen("input.txt","r",stdin);
//    freopen("o.txt","w",stdout);
#endif
    int n,m;
    sum[0] = 0;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int t;
            scanf("%d",&t);
            sum[i] = sum[i-1]+t;
        }
        dp[0] = 0;
        int head = 0,rear = 1;
        q[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            while(rear-head > 1 && suby(q[head+1],q[head]) <= 2*sum[i]*subx(q[head+1],q[head])) head++;
            dp[i] = gety(q[head])-2*sum[i]*getx(q[head])+sum[i]*sum[i]+m;
            while(rear-head > 1 && suby(i,q[rear-1])*subx(q[rear-1],q[rear-2]) <= suby(q[rear-1],q[rear-2])*subx(i,q[rear-1]))
                rear--;
            q[rear++] = i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}