算法步骤:
- 初始化前置流:将与源点s相连的管道流量f(0,i)设为该管道的容量,即 f(0,i)=c(0,i);将源点s的高度h(0)=V,(V表示图的顶点个数),其余顶点高度h(i)=0;将源的点余量e(0)设为源容量减去源的流出量,即e(0)=-∑f(0,i)=-∑c(0,i),与源s相连的点余量设为该点的流入量e(i)=c(0,i),其余点都为0。
- 构造一个存储顶点的队列vlist,用以检查点的压栈。从源点s出发,将与之相连的顶点压入栈。
- 每次从栈中取首个元素,即某一个点,检查其点余量e(i),若不为0,表示要对该点进行操作——重标记或者压入流:检查与该点i全部的相邻点j,若该点比它相邻点的高度大h(i)>h(j)且该管道的容量c(i,j)大于流量f(i,j)时,将该点的余量以最大方式压入该管道delta=min(e(i), c(i,j)-f(i,j)), 点余量e、流量f相应的进行减加,另外在队列中加入满足点余量e(j)>0的相邻点j(vlist.push(j); j原不存在该队列中);若没有相邻点满足上述条件,则将该点的高度值h(i)根据相邻点j进行增加,h(i)=min(h(j))+1。以上的重标记或压入流操作循环进行,直至该点的余量e(i)为0。
- 重复第3步,直至队列vlist中没有元素,停止算法,最后输出汇点t的余量e(t),t=V-1, 该值就是最后所求的最大流。最小割就是选择以上
扩展:
- Push-Relabel算法中的顶点i的最大增加量为2V-1,(数学上可以证明),因此到最后可能与源相邻的某个点i会以高度h(i)>V的方式将多余量返回给源(源的高度值始终是V);
- Push-Relabel算法的复杂度为O(V2E)
//The Push-Relabel Algorithm 最大流的压入与重标记算法
#include "stdafx.h"
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100;
bool isMark[N] = {false};
bool isCheck[N] = {false};
bool flag[N]; //顶点是否在队列 vlist 中
int c[N][N], //有向边的容量
e[N], //余流
f[N][N], //流
h[N], //高度
n; //顶点数
list vlist, //待排除顶点
vNearArr[N]; //邻接表
void Push(int x, int y)
{
int df = min(e[x], c[x][y]- f[x][y]);
f[x][y] += df;
f[y][x] = -f[x][y];
e[x] -= df;
e[y] += df;
}
void Relabel(int x)
{
h[x] = n*2-1;
for (list::iterator iter = vNearArr[x].begin(); iter != vNearArr[x].end(); ++iter)
if (h[*iter] < h[x] && c[x][*iter] > f[x][*iter])
h[x] = h[*iter];
++h[x];
}
void Discharge(int x)
{
list::iterator iter = vNearArr[x].begin();
while (e[x] > 0) //有余流
{
if (iter == vNearArr[x].end())
{
Relabel(x);
iter = vNearArr[x].begin();
}
if (h[x] == h[*iter]+1 && c[x][*iter] > f[x][*iter])
{
Push(x, *iter);
if (e[*iter] > 0 && !flag[*iter])
vlist.push_back(*iter);
}
++iter;
}
}
void Check(int index)
{
isCheck[index] = true;
int i=0;
while (i
{
if(c[index][i]>0 && (c[index][i]-f[index][i]>0)) //有余流
isMark[i] = true;
i++;
}
}
void FindMinCut()//最小割存在于源s能够到达的所有点集合(包括s),即s能够通过余量到达该点
{
isMark[0] = true; //s永久可达到
int i=0;
while (i
{
if(isMark[i] && !isCheck[i]) {
Check(i);
i = 0;
}
else i++;
}
}
int Push_Relabel()
{
vlist.clear();
//初始化前置流
h[0] = n;
e[0] = 0;
memset(flag+1, 0, n-2); //1和n-1(即源和汇)不在 vlist 中
flag[0] = true;
flag[n-1] = true; //防止源、汇进入 vlist
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
h[i] = 0; //初始化各顶点高度为 h(i)=0
f[0][i] = c[0][i]; //初始化源与其他与之相连的 边流量f(0,i)=边容量c(0,i)
f[i][0] = -c[0][i]; //反向边容量
e[0] -= c[0][i]; //初始化源的 点余量e(0)=-c(0,i)
e[i] = c[0][i]; //初始化其他 点余量e(i)=c(0,i)
if (c[0][i] > 0 && i != n-1)
{
vlist.push_back(i); //待排除顶点,压入栈
flag[i] = true;
}
}
//构造邻接表,每个点i的列表vNearArr[i]中存储与点i在图上相邻的点
for (int i = 0; i < n-1; ++i)
for (int j = i; ++j < n; )
if (c[j][i] > 0 || c[i][j] > 0)
{
vNearArr[i].push_back(j);
vNearArr[j].push_back(i);
};
//排除队列中的顶点
while (!vlist.empty())
{
int x = vlist.front();
Discharge(x);
vlist.pop_front();
flag[x] = false;
}
FindMinCut();
return e[n-1];
}
int main()
{
int m;
fstream fptr;
fptr.open("graph_data.txt",ios::in);
fptr>>m;
fptr>>n;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
memset(c, 0, sizeof(c[0][0])*n);
memset(f, 0, sizeof(f[0][0])*n);
vNearArr[i].clear();
}
int x, y, w;
while (!fptr.eof())
{
fptr>>x;
fptr>>y;
fptr>>c[x][y];
}
fptr.close();
printf("%d\n", Push_Relabel()); //计算从0(源)到 n-1(汇)的最大流
for (int i=0; i
{
if(isMark[i]) printf("%d ", i);
}
printf("\n");
system("PAUSE");
}