第四章 4.3 用代入法求解递归式

最新推荐文章于 2024-11-29 20:26:16 发布
最新推荐文章于 2024-11-29 20:26:16 发布
阅读量3.3k 收藏 4
点赞数
分类专栏： 算法导论第三版答案（自己写）
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012889441/article/details/55510843
版权
本章节探讨了如何使用代入法求解不同形式的递归式，包括证明T(n)=T(n-1)+n的时间复杂度为O(n^2)，以及讨论了在递归证明中调整归纳假设的重要性。同时，提到了归并排序的严格递归式的解为θ(nlgn)，并尝试证明T(n)=2T(⌊n/2⌋+17)+n的时间复杂度为O(nlgn)。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

4.3-1 证明：T(n)=T(n-1)+n的解为O（ n2 ）。

c(n−1)2+n≤n2cn2−2cn+c+n≤n2cn2−(2c−1)n+1≤n2

当c大于等于1时成立
4.3-2 证明： T
最低0.47元/天 解锁文章
第四章 分治策略 4.3 用代入法求解递归式
weixin_43172803的博客
03-09 893
4.3 用代入法求解递归式 一. 1. 代入法 1.1   代入法 求解递归式分为两步：   1. 猜测解的形式。   2. 用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。 1.2   数学归纳法要求我们证明解在边界条件下也成立。为证明这一点，我们通常证明对于归纳证明，边界条件适合作为基本情况。 1.3 微妙的细节   才出了递归式解的渐近界，但在归纳证明时失败。问题常常在于归纳假设不够强，无法证...
递归式的求解学习笔记
BohouZhang的博客
07-14 4847
递归式的求解      递归式的求解主要有三种方法，分别是代入法、递归树法和主方法。递归式与分治方法紧密相连，因为使用递归式可以很自然地刻画分治算法的运行时间。换言之，对递归式进行求解有助于判断算法的优劣性，进而帮助我们选用更优的算法解决实际问题。一、代入法求解递归式       用代入法对递归式进行求解需要分两步进行：      1. 猜测解的形式；      2. 用数学归纳法求出解中的常数，...
算法导论 — 4.3 用代入法求解递归式
yangtzhou的专栏
03-31 5974
笔记 代入法求解递归式分为两步： 　　1) 猜测解的形式。 　　2) 用数学归纳法证明猜测的解是正确的。 　　例如，我们要确定递归式T(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n)=2T(⌊n/2⌋)+n的上界。我们猜测其解为T(n)=O(nlgn)T(n) = O(n{\rm lg}n)T(n)=O(nlgn)，这意味着存在正常数ccc和n0n_0n0​，使得T(n)≤c...
递归式-代入法求解过程
lpp
08-15 5492
递归式的代入法求解过程 归纳法证明
【算法王-2】代入法求递归式
最新发布
m0_69378371的博客
11-29 400
步骤：首先猜测一个解的形式，然后代入递归式，简化表达式，最后验证该解是否成立。适用场景：代入法适用于大部分简单的递归式，尤其是分治型的递归（如归并排序、快速排序等），但有时也可能需要通过数学归纳法来证明。局限性：对于复杂的递归式，代入法可能不容易找到合适的猜测解，或者代入后的表达式比较复杂。在这种情况下，可能需要其他方法（如主定理）来求解递归式。代入法是求解递归式的一种基本方法，在许多经典问题中都非常有效，尤其是在算法分析中常常使用它来估计算法的时间复杂度。
算法导论4.3习题
lcyFire的博客
04-16 1575
算法导论4.3习题4.3-1 证明：T(n) = T(n-1)+n的解为O(n2)O(n^2)O(n2)4.3-2 证明: T(n) = T(⌈\lceil⌈n/2⌉\rceil⌉) + 1的解为O(lg⁡n)O(\lg n)O(lgn)4.3-3 我们看到T(n)=2T(⌊n/2⌋\lfloor n/2 \rfloor⌊n/2⌋) + n 的解为 O(nlg⁡n)O(n\lg n )O(nlgn...
算法导论第三版第四章答案
09-07
- 在4.3中使用代入法求解递归式4.3-1。 - 部分答案可以从https://blog.csdn.net/victoryaoyu/article/details/77085161获取。 其中，对于问题a，可以从引用找到答案。 对于问题b，可以从引用找到答案。 请注意，这...
第四章——蛮力法
weixin_55835175的博客
05-31 8146
蛮力法概述 蛮力法也称穷举法(枚举法)或暴力法，是一种简单的直接解决问题的方法，通常根据问题的描述和所涉及的概念定义，对问题所有可能的状态(结果)一一进行测试，直到找到解或将全部可能的状态都测试一遍为止。 蛮力法的“力”指的是计算机的运算能力，蛮力法是基于计算机运算速度快的特性，减少人的思考而把工作都交给计算机的“懒惰”策略(这里的懒惰指的是人懒，不是算法中的懒惰方法)，一般而言是最容易实现的方法。 蛮力法的优点如下： 1.逻辑简单清晰，根据逻辑编写的程序简单清晰。 2.对于一些需要高正确性的重要问题，它产
解递归式的方法总结
热门推荐
a130098300的专栏
06-05 2万+
算法设计中经常会用到递归，利用递归式的方法可以清晰地显示算法的整个过程，而对于分析算法的复杂度，解递归式就有了用处，这里的方法来自于《算法导论》。 （一）代换法： 实质上就是数学归纳法，先对一个小的值做假设，然后推测更大的值得正确性。由于是数学归纳法，那么我们就需要对值进行猜测。现在，我们看下面这个例子： 我们先假设一个结论T(n) = O(lg(n - b))，并且假设对T(n /
《算法导论》第四章-第3节_练习（参考答案）
vikYao的博客
08-03 5601
算法导论（第三版）参考答案：练习4.3-1，练习4.3-2，练习4.3-3，练习4.3-4，练习4.3-5，练习4.3-6，练习4.3-7，练习4.3-8，练习4.3-9
解决T(n)=T(n-1)+n的结果为O(n^2)的过程
m0_46529566的博客
12-20 4403
解决T(n)=T(n-1)+1的结果为O(n^2)的过程 查了半天资料没查到心中的答案：无语 自己静下心推导了一下： T(n) =T(n-1)+n =T(n-2)+(n-1)+n =T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n … =T(0)+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n =1+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n =1+(n+1)*n/2 综上：为O(n^2) ...
证明：T（n）= T(n-1) + O(n)等于O（n的平方）
jiangzuofengqiao的博客
10-17 2751
1：假设T（n） = O(n的平方) 2：则存在常数c>0使得T（n） <c*（n的平方） 3：则T(n) < c*(n-1的平方) + n < c*(n的平方) 4:因为T（1） = 1 5：所以对任意c >= 1都满足条件。 6：所以T（n)的解是O（n的平方） ...
递归树法求解递归式
江船夜雨听笛的博客
10-04 1万+
递归算法时间复杂度的计算方程式一个递归方程： 　　 　　在引入递归树之前可以考虑一个例子： 　　T(n) = 2T(n/2) + n2 　　迭代2次可以得： 　　T(n) = n2+ 2(2T(n/4) + (n/2)2) 　　还可以继续迭代，将其完全展开可得： 　　T(n) = n2+ 2((n/2)2+ 2((n/22)2+ 2((n/23)2+ 2((n/24)2+…+2((n/2i)2+ 2T(n/2i + 1)))…))))　　……(1) 　　而当n/...
算法学习笔记----递归式证明
Justlinux2010的专栏
01-28 2080
题目：利用数学归纳法证明：当n是2的整数次幂时，递归式 的解为T(n)=nlgn。   证明如下：   当n=2时，T(n)=2*lg2=2。   假设递归式的解为T(n)=nlgn，有T(n/2)=(n/2)lg(n/2)，将T(n/2)带入递归式，过程如下所示： T(n) = 2*(n/2)*lg(n/2) + n = nlg(n/2) + n = n
基于递归的技术
gls_nuaa的博客
03-30 697
      递归是一种简化运算规模的方法。将每个问题分为一个个子问题，子问题从结构上来看与原问题相同，但是运算规模小于原问题。不断递归下去，直到有一个子问题是已知可解决的。反过来再将每一个完成的子问题作为父问题的输入，直到回到第一层得到最终的结果。       书中把递归分为了归...
递归方程复杂度计算公式推导_递归算法的复杂度计算(常用的递归方程求解)
weixin_32691913的博客
01-17 3764
递归(recursion)算法的运行时间常用递归表达式表示。本文主要讲解如何从递归表达式求解出bigO时间复杂度。例一：T(n) = T(n-1)+1解：T(n) =T(n-1)+1 = [T(n-2)+1]+1 = T(n-2)+2 =T(n-3)+3 = … = T(n-n)+n = n故 O(n) = n例二：T(n) = T(n-1)+n-1解：T(n) =T(n-1)+n-1 = ...
时间空间复杂度 习题
qq_41041036的博客
01-25 1278
1、设某算法的递推公式是T(n)=T(n-1)+n，T(0)=1，则求该算法中第n项的时间复杂度为（） 作业内容 A.O(n) B.O(n^2) C.O(nlogn) D.O(logn) (正确答案是：A) 解析：T(n) =T(n-1)+n =T(n-2)+(n-1)+n =T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n … =T(0)+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n =1+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n 从递推公式中可以看到，第n项的值等于1到n的累加值，需要遍历n个元素 所以时间复杂度为n
【O(n)时间复杂度】递推公式的时间复杂度T(n)=T(n-1)+n
weixin_53269843的博客
10-31 7511
【O(n)时间复杂度】T(n)=T(n-1)+n和T(n)=T(n-1)+O(1)
算法导论第七章课后答案
z84616995z的专栏
01-09 1万+
7.1-1 参照图7-1的方法，说明PARTITION在数组A={13,9,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}上的操作过程。 A={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}   ={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}   ={13,19,9,5,12,8,7,4,21,2,6,11}   ={9,19,13,5,12,8,7,4,2
如何使用代入法求解递归方程T(n) = 2T(n/2) + n，并分析其渐进阶？
10-27
参考资源链接：[递归方程解的渐进阶分析：算法与方法](https://wenku.csdn.net/doc/2ewdrqytvo?utm_source=wenku_answer2doc_content) 递归方程在算法分析中占据着核心地位，尤其是在理解算法的时间复杂度时。为了求解递归方程T(n) = 2T(n/2) + n并分析其渐进阶，我们可以采用代入法。代入法是基于猜测递归方程解的形式，然后使用数学归纳法来证明猜测正确性的技巧。这种方法在《递归方程解的渐进阶分析：算法与方法》一书中有着详尽的介绍和实例，它将帮助你系统地掌握如何对递归方程进行分析。 首先，我们猜测递归方程T(n)的解具有形式T(n) ≤ cnlogn，其中c是一个常数。接下来，我们利用数学归纳法来证明这个猜测。 1. 基础情况：首先证明当n的值足够小的时候，猜测成立。例如，我们可以验证当n=1时，递归方程变为T(1) = 2T(1/2) + 1，显然T(1) = 1，满足cnlogn的形式，因此基础情况成立。 2. 归纳步骤：假设对于所有1 ≤ k < n，猜测都成立，即T(k) ≤ cklogk。我们需要证明在n的情况下，T(n) ≤ cnlogn也成立。根据递归方程T(n) = 2T(n/2) + n，我们可以将其展开为： T(n) = 2(2T(n/4) + n/2) + n = 4T(n/4) + 2n 假设对于n/2的情况猜测也成立，即T(n/2) ≤ c(n/2)log(n/2)，那么有： T(n) = 4T(n/4) + 2n ≤ 4c(n/4)log(n/4) + 2n ≤ cnlogn - cnlog2 + 2n ≤ cnlogn + n，因为-log2 < 1 由于n ≥ 1，我们可以得出结论，对于n，猜测也是成立的。 通过归纳法，我们可以确定猜测是正确的，因此递归方程T(n) = 2T(n/2) + n的解的渐进阶为O(nlogn)。这种方法不仅帮助我们找到了递归方程的上界，也展示了代入法在递归方程分析中的实用性。如果你希望进一步提升对递归方程求解和分析的技能，建议阅读《递归方程解的渐进阶分析：算法与方法》，它详细介绍了代入法及其他多种方法，并提供了丰富的实例和练习题，帮助你在算法设计中达到新的高度。 参考资源链接：[递归方程解的渐进阶分析：算法与方法](https://wenku.csdn.net/doc/2ewdrqytvo?utm_source=wenku_answer2doc_content)
评论 1
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值