POJ 2888 Magic Bracelet 有限制的Polya计数

最新推荐文章于 2018-09-07 19:12:52 发布

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#Polya计数

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本文介绍了一种计算在置换群作用下图形的合法着色数的方法，通过将问题转化为矩阵乘法和快速幂运算，实现了高效计算。具体包括如何确定置换群中的环结构、构建合法转移矩阵并计算对角线元素之和。

求每个置换的不变的着色数,对于每个置换，有gcd(n,k)个环

显然，任取一段长度为gcd(n,k),则gcd(n,k)个点分别属于各个环

且相邻关系是(a1,a2),(a2,a3)...(ai,a1)

那么，问题转换成了，对于每个置换i= gcd(n,k)，求a1,a2..ai的着色数，相邻点都符合条件,即有些颜色不能相邻

设m种颜色为 m个点，形成m*m的矩阵C，若i后面可跟j,则（i,j)= 1

设a1上颜色为1，那么从a1->a2->a3->...->ak->a1，就是C^k中的（1,1）

每个置换的答案就是C^k的对角线之和

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#include 

using namespace std;
#define rep(i,n) for(int i=0; i 1) res = res * (x - 1) % MOD;
	return res;
}
void mul1()
{
	int c[12][12] = {0};
	repe(i,m)
		repe(k,m)
			repe(j,m)
				c[i][j] = (c[i][j] + res[i][k] * A[k][j]) % MOD;
	repe(i,m)
		repe(j,m)
			res[i][j] = c[i][j];
}
void mul2()
{
	int c[12][12] = {0};
	repe(i,m)
		repe(k,m)
			repe(j,m)
				c[i][j] = (c[i][j] + A[i][k] * A[k][j]) % MOD;
	repe(i,m)
		repe(j,m)
			A[i][j] = c[i][j];
}
int quick(int k)
{
	mst(res,0);
	repe(i,m) res[i][i] = 1;
	memcpy(A,g,sizeof(g));
	while(k)
	{
		if(k & 1) mul1();
		k >>= 1;
		mul2();
	}
	int sum = 0;
	repe(i,m) sum = (sum + res[i][i]) % MOD;
	return sum;
}
int cal(int x)
{
	int sum = quick(x);
	return sum;
}
int solve(int x)
{
	int cnt = oula(n / x); // 这种置换有多少种，莫比乌斯反演得为 n/x 的欧拉数
	int a = cal(x);  // 这种置换的不变的着色数
	return cnt * a % MOD;
}
int quick(int a,int k)
{
	int res = 1;
	a %= MOD;
	while(k)
	{
		if(k & 1) res = res * a % MOD;
		k >>= 1;
		a = a * a % MOD;
	}
	return res;
}

int main()
{
	//freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\out.txt","w",stdout);

	init();
	int T,a,b;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		repe(i,m) repe(j,m) g[i][j] = 1;
		rep(i,k)
		{
			scanf("%d%d",&a,&b);
			g[a][b] = g[b][a] = 0;
		}
		int ans = 0;
		for(int i=1; i*i<=n; i++) if(n % i == 0)  // 由于n很大，枚举gcd(i,n）
		{
			ans = (ans + solve(i)) % MOD;
			if(i * i != n) ans = (ans + solve(n / i)) % MOD;
		}
		ans = ans * quick(n,MOD-2) % MOD; //  除以 n 等于 乘上 n 的逆
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}