【BZOJ】【P1101】【POI2007】【Zap】【题解】【莫比乌斯反演】

最新推荐文章于 2019-05-29 00:59:03 发布

原创最新推荐文章于 2019-05-29 00:59:03 发布 · 1.2k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#bzoj #省选

OI 专栏收录该内容

324 篇文章

订阅专栏

文章详细介绍了如何通过莫比乌斯函数优化长整数计算问题，将复杂求和转换为更高效的处理方式。利用莫比乌斯函数的性质简化计算过程，提高算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门：www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

事实胜于雄辩，用longlong又T了，换成int就A了……

推导：

令 $a'=\left \lfloor a/d \right \rfloor,b'=\left \lfloor b/d \right \rfloor$
$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\text{gcd}(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\text{gcd}(i,j)==1]$
用莫比乌斯函数的性质把求和的式子换掉，
$=\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d|\text{gcd}(i,j)}\mu(d)$
其中 $d|\text{gcd}(i,j) \Leftrightarrow d|i \,\text{and} \,d|j$ ，更换求和指标，
$=\sum_{d=1}^{a'}\mu(d)\left \lfloor a'/d \right \rfloor \left \lfloor b'/d \right \rfloor$
容易知道 $\left\lfloor a'/d\right \rfloor$ 单调不上升，且最多有 $2\sqrt{a'}$ 种不同的取值。所以按取值分成 $O(\sqrt{n})$ 个段分别处理，一个连续段内的和可以用预处理出的莫比乌斯函数前缀和求出

（转自jcvb神犇的blog）

Code：

//ID:zky
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>

#define I64 "%d"

using namespace std;
const int maxn=50010;
//typedef long long int;
int u[maxn],prime[maxn];
int n,m,T,k;
bool ok[maxn];
int sum[maxn];
void getmu(){
	memset(ok,false,sizeof(ok));
	u[1]=1;
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(!ok[i]){
			prime[++prime[0]]=i;
			u[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0];j++){
			if(i*prime[j]>=maxn)break;
			ok[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j])
				u[i*prime[j]]=-u[i];
			else{
				u[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	sum[0]=0;
	for(int i=1;i<maxn;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+u[i];
} 
int work(){
	//ans=sigma   u(d)*|n|*|m|
	//     d<=n        [d] [d]
	int ans=0,pos;
	for(int i=1;i<=n;){
		pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
		i=pos+1;
	}return ans;
}
int main(){
	scanf(I64,&T);
	getmu();
	while(T--){
		scanf(I64,&n);
		scanf(I64,&m);
		scanf(I64,&k);
		n/=k;m/=k;
		if(n>m)swap(n,m);
		printf(I64,work());puts("");
	}	
	return 0;
}