母函数：poj 1014 Dividing

题目大意

告诉我们价值为1,2,3,4,5,6珠宝的个数，判断能否将珠宝依价值均分。

解题思路

类似整数拆分成和相等的两部分，很容易想到母函数。

所谓母函数，我的理解是幂级数。

我们称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…,的母函数。

通常情况下会构造母函数为多个子函数的乘积，例如

这样的多项式乘积就会赋予数学意义，比如说整数拆分、分珠宝等一系列问题，1014这道题就属于母函数问题。

这道题有价值1,2,3,4,5,6的珠宝，分别告诉对应的数量，问最后能不能依价值均分，设总价值value,也就是母函数结果中x^value/2的系数是否不为0。

还有一个问题，某价值珠宝数目n很大时，三重循环很容易超时，需要剪枝优化，网上有这样一个定理：

对于任意一种珠宝的个数，如果n>=8时，可以将n改写为11（n为奇数）或12（n为偶数）

定理不会证明，日后咀嚼。

网上有另外一个定理+证明，discuss讨论区，look look

http://poj.org/showmessage?message_id=342382

参考代码+部分注释

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 6e3+10;
int a[10],c1[maxn],c2[maxn];
int judge(int n)//剪枝操作,对某一价值珠宝数目n>=8的处理，避免TLE
{
    if(n&1) return 11;
    return 12;
}
int solve(int value)//返回x^(value/2)的系数
{
   value/=2;               //总价格的一半
   memset(c1,0,sizeof(c1));//c1用于存储最终结果
   memset(c2,0,sizeof(c2));//c2用于保留中间结果
   for(int i=0;i<=a[1];i++) c1[i]=1;//第一个表达式初始化
   for(int i=2;i<=6;i++){
    for(int j=0;j<=value;j++)//遍历第二个表达式的指数，找到对应系数非0的数
      if(c1[j]){
        for(int k=0;k+j<=value&&k<=i*a[i];k+=i)//后一表达式遍历
            c2[j+k]+=c1[j];
     }
     memcpy(c1,c2,sizeof(c2));
     memset(c2,0,sizeof(c2));
   }
   if(c1[value]) return c1[value];
   return 0;
}
int main()
{
  // freopen("input.txt","r",stdin);
   int count=1;
   while(1){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=6;i++){
       cin>>a[i];
       if(a[i]>=8) a[i]=judge(a[i]);
       sum+=i*a[i];
    }
    if(sum==0) break;//跳出循环
    else if(sum&1) cout<<"Collection #"<<count++<<":"<<endl<<"Can't be divided."<<endl;//剪枝操作，奇数肯定不能均分
    else{
      cout<<"Collection #"<<count++<<":"<<endl;
      if(solve(sum)) cout<<"Can be divided."<<endl;
      else cout<<"Can't be divided."<<endl;
    }
    cout<<endl;//注意每组数据之间有一个空行
   }
   return 0;
}