完全数+莫比乌斯反演hdu 1695+伪随机数 poj2183

博客介绍了完全数的概念及其六个重要性质，并探讨了莫比乌斯反演在解决数学问题中的应用，特别是针对HDU 1695题目。同时，文章还提及了C语言中伪随机数的生成，通过srand()和rand()函数的使用，解释了如何在POJ 2183题目中生成不同的随机数序列。

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完全数：

完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）之和，恰好等于它本身。

或者可以理解为，如果n是一个正整数，且所有正因子之和等于2n,那么n称为完全数。

完全数有6个重要性质：

性质1 完全数都能写成连续自然数之和；

性质2 每个完全数的全部因数倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数；

性质3 除了6以外的完全数，每个数都可以写成连续奇数的立方和；

性质4 每个完全数都可以表达成2的一些连续正整数次幂之和；

性质5 完全数都是以6或8结尾；

性质6 位数字相加直到变成个位数，这个个位数一定是1.

附表：前12个完美数（目前共发现48个）

个数	完全数
1	6
2	28
3	496
4	8128
5	33550336
6	8,589,869,056
7	137,438,691,328
8	2,305,843,008,139,952,128
9	2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176
10	191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216
11	13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128
12	14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128

莫比乌斯反演：

算法实现：小技巧：如果某个素因子的幂大于1，则其莫比乌斯函数值就是0，函数break,return 0.

int mobi(int n)
{
    int ans=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    if(n%i==0){
        ans*=-1;
        int k=0;
        do{
            k++;
            if(k>1) return 0;
            n/=i;
        }while(n%i==0);
    }
    if(n>1) ans*=-1;
    return ans;
}

hdu 1695 :GCD

解题思路：这道题有2种解法，莫比乌斯反演或容斥定理，前一种算法比较快，这里用莫比乌斯反演解决。

首先由于gcd(x,y)=k满足gcd(x/k,y/k)=1，所以区间可以缩小为[1/k,b/k],[1/k,d/k],问题也转换成为求两区间【1，b】【1，d】互素的对数。

莫比乌斯反演与容斥定理：http://wenku.baidu.com/view/542961fdba0d4a7302763ad5.html

参考代码+部分注释：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+10;
int a,b,c,d,k,mu[maxn],prime[maxn];
ll ans,temp;
bool check[maxn];
void swap(int &a,int &b)
{
  int temp;temp=a;a=b;b=temp;
  return;
}
void Mobius(int n)
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1]=1;
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!check[i]){
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;jn) break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
 //  freopen("input.txt","r",stdin);
   Mobius(100000);
   int T;cin>>T;
   int count=1;
   while(T--){
     cin>>a>>b>>c>>d>>k;
     cout<<"Case "<d) swap(b,d);
        b/=k;
        d/=k;
        ans=temp=0;
        for(int i=1;i<=b;i++) ans+=(ll)mu[i]*(b/i)*(d/i);//求出(1,b),(1,d)之间的互质数的对数
        for(int i=1;i<=b;i++) temp+=(ll)mu[i]*(b/i)*(b/i);//求出(1,b),(1,b)之间的互质数的对数
        cout<



伪随机数：
函数rand()可以生成0~rand_max之间的随机数，是按指定的顺序来产生整数，因此每次执行rand()语句都打印相同的两个值，所以说C语言的随机并不是真正意义上的随机。
函数srand()可以为随机数生成器播散种子，只要种子不同，rand()函数就会产生不同的随机数序列。srand()称为随机数生成器的初始化器。



poj 2183: Bovine Math Geniuses
解题思路：开个标记数组，记录迭代开始的位置，简单题。
参考代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
int flag[maxn];//标记数组
int x;
int main()
{
   //freopen("input.txt","r",stdin);
   while(cin>>x){
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    int i=0;
    while(!flag[x]){
       flag[x]=i;
       x=x/10%10000;
       x=(x*x)%1000000;
       i++;
    }
    cout<