2018 BUPT Summer Training 网络流 by 月加 题集总结

A - Drainage Ditches POJ - 1273 简单模板题
B - Friendship POJ - 1815
大致题意：时限2秒，给出200个点，5000 条边的无向图，以及S和T，问将S和T分割开来最少需要删去多少个点，以及最小字典序的割点集合

建图方法：每个点分割成入点和出点，之间连容量为1的边；对于原来的图中的连边，则从起点的出点 向 终点的入边建立一条容量为极大值的边。

直接建立图，求最小字典序的割边的集合时，按顺序依次将每条边从图中暂时拿去，重新建图再跑最大流，如果此时的最大流比前一次的最大流小的话，则该条边是割边，并将其从图中永久删去。直到最大流为0的时候停止寻找割边。

C - Reactor Cooling ZOJ - 2314 上下界网络流裸题

D - Number HYSBZ - 3275
题意：
有N(n<=3000)个正整数，需要从中选出一些数，使这些数的和最大。若两个数a,b同时满足以下条件，则a,b不能同时被选
1:存在正整数C，使aa+bb=c*c
2:gcd(a,b)=1

解法：如果两个数互质，则这两个必定一个为奇，一个为偶，则可以将数分为两类，源向代表奇数的点连一条容量为该点的数值的边，代表偶数的点向汇连一条容量为该点的数值的边。如果某两个数满足题目给出的条件，则在这两个数对应的点之间建立一条容量为极大值的边。于是，如果存在从S到T的流量就意味着存在一对满足关系的点。最后求出最小割，就是意味着把所有满足关系的点对的其中一个去掉的最小代价。再用所有的数值之和减去最小代价就是该题的答案。

E - 软件开发 HYSBZ - 1221
大致题意：有n天，每天需要$a[i]$块消毒毛巾，有3种消毒毛巾的获取方法：

1. 直接购买新的消毒毛巾，每块消毒毛巾费用为f
2. 把这一天有的毛巾进行消毒，经过a天，每块消毒毛巾费用为fa
3. 把这一天有的毛巾进行消毒，经过b天，每块消毒毛巾费用为fb
   问经过n天以后最小总费用为多少。

解法：将每个点分成A点和B点，所有的A点向汇点连一条容量为$a[i]$，费用为0的边；从源点向每个A点连一条容量为极大值，费用为$f$的边；从源点向每个B点连一条容量为$a[i]$，费用为$0$的边；所有的$B[i]$点向$A[i+a+1]$点连一条容量为极大值，费用为$fa$的边；所有的$B[i]$点向$A[i+b+1]$点连一条容量为极大值，费用为$fb$的边；所有的$B[i]$点向$B[i+1]$点连一条容量为极大值，费用为$0$的边。

F - 修车 HYSBZ - 1070
经典的工程问题

解法：把每个代表工人的点拆成n个点，分别代表第1,2,3…n次修理，每辆车向这些点连容量为1，费用为$g[i][j]\ast k$，表示第$i$个工人倒数第$k$次修理的车辆为第$j$辆给总等待时间带来的增量。然后从源点向所有代表车辆的点连容量为1，费用为0 的边，所有代表工人的点向汇点连容量为1，费用为0 的边。

G - Firing POJ - 2987
大致题意：开除每个员工会带来对应的收益或者损失，开除一个员工同时也会开除其所有的下属，下属的下属…给出开除员工的收益或损失，以及上司和下属关系（一个员工可能会有多个上司），问开除员工的最大收益是多少，获得最大收益时最少需要开除多少员工。

解法：从源点向所有开除后获得收益的员工连一条容量为收益量的边；所有开除后导致损失的员工向汇点连一条容量为损失量的边；对于所有的下属关系建立一条从上司到下属，容量为极大值的边。则答案为收益的总和减去最大流。其中开除的员工即为，去掉所有的满流边以后，和S相连的点。

理解：假设只有一个员工会带来收益，则如果从该点到汇点的最小割大于其收益，也就是源点到该点的边满流了，表示开除该员工带来的总利润为非正数，为答案带来的总利润为收益值减去最小割，也就是0；
相对应的，如果源点到该点没有满流，表示开除该员工带来的总利润为正值，为答案带来的总利润值为收益值减去最小割。
对于一个可以带来收益的员工的集合也是一样的。

H - Being a Hero HDU - 3251
给出一个图(n<=1e3,m<=1e5)，每条边都带有边权，有些点有收益值，问删去某些边以后，和1号点相隔离的点的收益之和减去删去的边的边权之和最大为多少，以及删去哪些边。

解法：定1号点为源点，从所有的收益点向汇点连容量为收益值的边，其他点之间的连边的容量为该边的边权。答案是所有的收益点的收益之和减去最大流，删去的边为那些，跑完最大流以后的残量网络中，从1号点可达的点到1号点到不可达的点的满流边。

理解：先考虑只有一个收益点的情况下，则如果从1号点到该收益点的最小割大于其收益，即将这个收益点和1号点隔开的总利润为负数，否则利润为正数。再考虑对于一个收益点的集合，也是一样的。

I - 志愿者招募 HYSBZ - 1061
大致题意：
给定长度为n的目标序列A，和m种操作，每种操作可以使用无限次，每次操作可以将序列$L[i]$到$R[i]$的值加1，费用为$C[i]$。初始序列B长度为n，值全为0。问序列B进行操作后，直到对于所有$1\le i\le n$都满足$B[i]\ge A[i]$所需的最小代价和。

解法：先把序列A做一次差分，对于每个差分后的$A[i]$，如果为负数，则从源点向$i$点连一条容量为$|A[i]|$，费用为0的边；如果为正数，则从$i$点向汇点连一条容量为$A[i]$，费用为0的边。从每个$r[i]+1$点向$l[i]$点连一条容量为极大值，费用为$C[i]$的边。最后从点$i$向点$i+1$连一条容量为极大值，费用为0的边。

理解：到每个节点的流量可以理解为当前点的差分值。而题目要求为每个当前差分值都不少于序列A的差分序列B对应的$B[i]$。对于每个$B[i]$，如果为正数，则从对应的点向汇点连容量为$B[i]$，费用为0的边，表示限制该点的当前差分值不应该少于$B[i]$，否则从源点向该点连容量为$-B[i]$，费用为0的边，表示从该点以后的当前差分值都可以相对地提高$-B[i]$，这个稍微想一下就可以知道为什么了。而操作则对应的转化为了从后向前连的边，表示将右端点的当前差分值降低，左端点的当前差分值提升，在原序列上就表现为区间加法。
注意在建图的时候需要将差分得到的第n+1个点也要考虑进去。