CLRS 12.4随机构建二叉搜索树

最新推荐文章于 2024-01-01 11:50:32 发布

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分类专栏：算法导论文章标签： clrs 随机二叉搜索树

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012593447/article/details/50453822

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这篇博客探讨了CLRS中12.4节的内容，主要关注随机构造二叉搜索树的特性。博主首先证明了附录C中关于组合数的等式，并展示了一个例子，说明尽管平均深度为Θ(lgn)，但高度可能达到ω(lgn)。接着，列举了n=3时所有可能的二叉搜索树及其构建概率。此外，博主还证明了函数f(x)=2x是凹函数，为后续的数学推导奠定了基础。遗憾的是，12.4-5部分的内容未给出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

12.4-1
证明前先需要知道有 $\binom{4}{4}=\binom{3}{3}$ 以及附录 C 的练习 C.1-7 需要证明的等式 $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$
先证明附录 C 的练习 C.1-7

(n - 1 k) + (n - 1 k - 1) = ( n - 1 ) ! k ! ( n - 1 - k ) ! + ( n - 1 ) ! ( k - 1 ) ! ( n - 1 - k + 1 ) ! = ( n - 1 - k + 1 ) ( n - 1 ) ! k ! ( n - 1 - k + 1 ) ! + k ( n - 1 ) ! k ! ( n - 1 - k + 1 ) ! = ( n - 1 - k + 1 + k ) ( n - 1 ) ! k ! ( n - 1 - k + 1 ) ! = n ! k ! ( n - k ) ! = (n k)

$\begin{align} \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1} &= \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-k+1)!} \\ &= \frac{(n-1-k+1)(n-1)!}{k!(n-1-k+1)!} + \frac{k(n-1)!}{k!(n-1-k+1)!} \\ &= \frac{(n-1-k+1+k)(n-1)!}{k!(n-1-k+1)!} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \binom{n}{k} \end{align}$
然后有：