《具体数学》 递归 热身题

1.所有的马都有同样的颜色，我们可以对给定集合中的马匹数量运用归纳法来证明之．理由就是：“如果恰有一匹马，那么它与它自身有相同的颜色，故而基础是显然的．根据归纳法的步骤，假设有匹马，标号从1到n．根据归纳假设，标号从1直到n-1的马都有同样的颜色，类似地，标号从2直到n的马也有同样的颜色．但是，处于中间位置标号从2直到n-1的马，当它们在不同的马群中时不可能改变颜色，因为这些是马，而不是变色龙．故而依据传递性可知，标号从1直到n的马也必定有同样的颜色，于是全部匹马都有同样的颜色．证毕．”如果这一推理有误，那么错在哪儿？

解：

说实话没看懂这道题……书中给的解答大意如下：当n=2以外的情形，该证明无误。而当n=2时，“标号为1到n-1的马”只有第1只，“标号从2直到n的马”只有第二只，故“处于中间位置的马”不存在，使得该证明在n=2的情形无效。

2.（下面所有的“圆盘”、“塔”均指汉诺塔。汉诺塔：有3根桩柱和若干大小不同的圆盘，在游戏开始时左边一根柱子从下到上按大小顺序叠放着所有圆盘，规定一次只能移动一个最顶端的圆盘，且保证较小圆盘必须位于任意更大的圆盘之上。游戏目标是通过在三根柱子上移动圆盘，使左边柱子上的所有圆盘移动到另一根柱子上。）

把有n个圆盘的塔从左边的桩柱A移动到右边的桩柱B，不允许在A和B之间直接移动，求最短的移动序列。（每一次移动都必须是移动到中间的桩柱或者从中间的桩柱移出。像通常一样，较大的圆盘不能放在较小圆盘的上面.）

解：

我们用 表示把n个圆盘从A移动到C需要的最小 次数。

对于n=1的情形，把该圆盘从A移动到C需要经过A→B，B→C两个过程，共2步，即 。

考虑n=k时，操作过程如下：

①首先把上方k-1个圆盘从A移动到C，需要 次。

②把第k个圆盘从A移动到B，需要1次 。

③把 k-1个圆盘从C移动到A，需要次。