第六章 数理统计的基本概念与基本原理

第六章 数理统计的基本概念与基本原理

一、基本概念

1. 总体、个体、样本
2. 常用的统计量
   
   • 样本均值 $$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$
   • 样本方差 $$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$$
   • 样本的 $k$ 阶原点矩 $$A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$$

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二、三个重要的抽样分布

1.$\chi$ 分布
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0, 1)$，令 $Z = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$，称 $Z$ 服从的分布为 $\chi^2(n)$ 分布，记为$X\sim \chi^2(n)$。

1. $E\chi(n) = n,\quad D\chi^2 = 2n$
2. 若$X \sim \chi^2(m), \quad Y \sim \chi^2(n)$且 $X, Y$ 相互独立，则 $X+Y \sim \chi^2(m+n)$

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2.$t$ 分布
若 $X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2(n)$，且 $X,Y$ 相互独立，令 $Z = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$，称 $Z$ 服从的分布为 $t$ 分布，记为 $Z \sim t(n)$。

1. $t$ 分布近似服从标准正态分布
2. 若 $Z \sim t(n)$，则 $EZ = 0, DZ = \frac{n}{n-2}$

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3.$F$ 分布
设 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$ 且 $X, Y$ 独立，令 $F = \frac{X/m}{Y/n}$，称 $F$ 服从 $F$ 分布，记为 $F \sim F(m, n)$。

1. 若$F \sim F(m, n)$，则 $\frac{1}{F} \sim F(n, m)$
2. $F_{1-\frac{\alpha}{2}}(m, n) = \frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(m, n)}$

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三、正态分布下常用的抽样分布

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2),\quad X_1, X_2, \cdots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，则

1. $$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}), \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$$
   • $$\frac{ \bar{X} - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$$
   • $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$$
   • $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \sim \chi^2(n)$$
   • $\bar{X}$ 和 $S^2$ 相互独立
   • $$ES^2 = \sigma^2$$