Frog in a well

本系列是对robert ghrist教授的FLCT以及结合他的Math104做的一些笔记，话说这位教授简直是位艺术家啊，把一门课搞得花花绿绿的，让人嘴馋的不得了！下面我们来到了第一张图，这本五花八门的书讲了些什么？教授如是说，这本小而有趣的书不能替代你的标准教科书，它旨在娱乐大众。前提条件：-你必须有接触过微积分，你知道如何求微分和积分，但是就像是生命中的某些事物一样，我们不知道它

这章主要将了当我们遇到一些0/0,∞/∞的未定式极限的时候，可以用级数的方法找到一些灵感。还记得Sin(x)与x的比值的极限吗？下面将sin(x)在0出用泰勒级数展开，我们看到除了第一项，其他的项都带有x，当x趋近于0时，整个极限趋近于1。可能你能用罗比达法则将其解求出来，但是你知道罗比达法则是怎么来的吗？教授说了凡是需了解其背后运作的规律和原理，坚决不做只会记忆的木头人！

极限先来看极限部分，极限是怎么定义的呢？如果我有任意一个数ε，那么我们总能找出一个数σ使得下面的不等式满足，这就像是两个人打架，一个人在f(x)出招了，另外一个人妥妥的在x接招。无论多小的ε，我们都能找到一个合适的σ使得下面的不等式成立。那么极限什么时候不存在呢？-如果函数在该点不连续，跳跃，这个时候左极限是不等于右极限的，所以它的极限不存在。-碗型曲线，有竖直方向的渐近线

教授又开始说笑了，我们已经知道了怎样像个超人一样去微分，计算一些函数的泰勒级数岂不是小菜一碟？根据泰勒公式：我们要计算e^x在x=0很容易，因为它的各阶导数在x=0处都相等，为1，那么我们要是计算它在x=10处的展开呢？似乎是个问题。同样的，如果我们要求sinx的泰勒级数：绕啊绕啊绕，无限循环中....有时候老老实实的套公式并非最佳解，因为我们要计算大量的高

教授一上来就说：任何有理的函数他们都能写成下面的多项式累加的形式，这样的形式表示的是函数在x=0这点的泰勒级数展开，表示的是在x=0周围，函数与这些多项式的组合的函数值很接近。也可以称作麦克劳级数从下图我们可以发现，当函数e^x展开的次数越来越多时，多项式在x=0旁边的图像越来越逼近指数函数。那么函数在x=0的泰勒展开的具体公式是怎么样的呢？如下：这在x=0展开是特俗情

你没看错，这货一开始就上来级数！泰勒级数！这难道就是传说中的倒叙手法吗？不过我是赞成这样的安排，因为级数让我们明白了很多东西！首先映入眼帘的是指数函数在x=0的泰勒级数展开。泰勒级数的每项分为系数项和多项式项，系数的分子由函数在展开点的n阶导数决定，系数的分母由n的阶乘来决定。所以有了公式，我们能够算出大部分常用函数的泰勒级数。指数函数的n阶导数在0点的函数值始终为1，所以

今天进入三角函数的话题首先是一个自然对数函数，对数函数就是指数函数的反函数，定义域为x大于0，当a大于1，它在区间0到正无穷上是单调递增的，当a小于1，它在区间0到正无穷上是单调递减的。如下图接下来是一系列三角函数：-sin函数(正弦函数)-cos函数（余弦函数）-tanx（正切函数），要注意的是它的定义域，因为其分母是余弦函数，根据分母

今天我们进入下面这张图：右下角的吃豆人超级抢眼！我都忘了这是本数学书，还以为是游戏攻略呢！下面我们步步拆解：上一幅图讲到了反函数，下面是反函数的几个例子：x^3的反函数是x^(1/3)，因为这个函数在定义域R上是单调的，所以它的反函数并没有值域的限制。x^2的反函数是x^(1/2)，且值域为正，为什么要限定值域呢？因为抛物线形状的图形导致了二次函数的反函数对应的值并

函数第一章，我们进入函数的内容，这幅封面很形象的画出了函数是什么，它就像一台机器，吃进去一些东西（定义域），制造出另外一些东西（值域）。我的天，这是啥！啥！啥！面对这漫天的文字，我感到很无助，但是再无助我也要继续前进！不妨让我们拆解上图。教授说：你小子不理解函数，你在数学的道路上不可能走很远！函数就是数学的DNA！那么什么是函数呢？函数f就是把x

导数的定义：像