整数分解为若干项之和

将一个正整数N分解成几个正整数相加，可以有多种分解方法，例如7=6+1，7=5+2，7=5+1+1，…。编程求出正整数N的所有整数分解式子。

输入格式：

每个输入包含一个测试用例，即正整数N (0 < N ≤ 30)。

输出格式：

按递增顺序输出N的所有整数分解式子。递增顺序是指：对于两个分解序列 N1=n1,n2,⋯

和 N2=m1,m2,⋯，若存在 i 使得 n1=m1, ⋯ , ni=mi，但是 ni+1<mi+1，则 N1 序列必定在 N2

序列之前输出。每个式子由小到大相加，式子间用分号隔开，且每输出 4 个式子后换行。

输入样例：

7

输出样例：

7=1+1+1+1+1+1+1;7=1+1+1+1+1+2;7=1+1+1+1+3;7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+4;7=1+1+2+3;7=1+1+5;7=1+2+2+2
7=1+2+4;7=1+3+3;7=1+6;7=2+2+3
7=2+5;7=3+4;7=7

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解题思路：

采用了深度优先处理的思想，涉及到了一点点数据结构的知识。如果还没学到数据结构，也不必担心。在之前的题目中也可能用到了其它容易实现的数据结构，只是不知道它是数据结构中的内容。数据结构就是把各种各样的操作、逻辑关系进行分类、总结，从而让我们更加方便地设计算法来解决问题。

深度优先算法用递归写起来比较方便。递归有两个重要元素：

• 递归出口
• 递归的表达式

递归对技巧性要求很高，大多数时候其关系式并不是很容易找到。而且对递归的设计与理解，很容易钻到具体细节的实现上。递归的优点就是可以让一些复杂问题简单化，把具体的细节交给计算机执行。而过分钻研细节，就非常容易陷进去理不清头绪。对于递归的学习应该是多看看经典的递归写法，遇到类似问题会模仿写就行了，不一定要自己创造出一个递归关系式。

本题也是如此。注意算法的主体部分，关键信息无非是：

void division () {

    division (下一个);
    对结点进行处理;
} 

递归出口是累加的总和等于了输入的 N。

到这里，就可以去看下面的代码了。然后试着自己写，不会写，就模仿，下面的框图对写这个算法基本上没有帮助——除了让人觉得「好像挺复杂的」以外。递归的特点就是形式简单，实际上细节繁多。不要扣于细节，先会写了，再去思考和模拟它的执行细节以掌握它，这样才不至于困难重重，无从下手。如果细节上有疑问，可以来看看下面的处理流程。

算法的处理流程是：

• 假设输入的 N 为 3：

第一层递归	第二层递归	第三层递归	主要执行细节
division (1) sum = 1，不跳出 →	division (1) sum = 2，不跳出 →	division (1) sum = 3 等于 N,输出当前序列 1 1 1， 跳出，执行 for 循环，sum 均大于 3，跳出，返回上一层 ↓	第三层 s[0] s[1] s[2] 动作 1 1 1 输出 1 1 2 跳出 1 1 3 跳出 1 1 4 跳出
↓	开始处理 division (2) sum = 3，输出当前序列 1 2，然后跳出，执行 for 循环，均跳出 ← 返回至上一层	← 返回至上一层	第二层 s[0] s[1] 动作 1 2 输出 1 3 跳出 1 4 跳出
开始处理 division (2) sum = 2，不跳出 →	division (2) sum = 4，跳出，返回上一层 ↓		第二层 s[0] s[1] 动作 2 2 跳出
开始处理 division (3) sum = 3, 输出当前序列 3，结束程序	← 返回至上一层		第一层 s[0] 动作 3 跳出

• 箭头指明了各层之间的流动方向。

如果 N 更大一点，这个表格会变得更加复杂。递归的手动模拟范围应尽量小一点，否则容易混乱。

你可以发现，所谓的深度优先就是说，优先处理下一个节点，直到它们的 sum 等于 N，才返回上一个节点。先爬到最深处，再往回走。

解题代码：

#include<stdio.h>

int N;

int s[31]; // 存放划分结果 
int top = -1; // 数组指针 
int count = 0; // 统计输出的次数 
int sum = 0; // 拆分项累加和 

void division (int i);

int main ()
{
    scanf ("%d", &N);
    
    division (1);
    
    return 0; 
}

void division (int i) {
    if (sum == N) {
        count ++;
        printf("%d=", N);
        int k;
        for (k=0; k<top; k++) {
            printf("%d+", s[k]);
        }
        if (count%4 == 0 || s[top] == N) {
            printf("%d\n", s[top]);
        } else {
            printf("%d;", s[top]);
        }
        return;
    } // 输出部分 
    if (sum > N) {
        return;
    }
    for (int j=i; j<=N; j++) {
        s[++top] = j;
        sum += j; 
        division (j);
        sum -= j;
        top --;
    } // 算法主体