大素数测试的Miller-Rabin算法

本文详细阐述了Miller-Rabin算法的工作原理,这是一种基于费尔马小定理和有限域上的平方根定理的素数检测算法。通过将目标数n分解并迭代计算特定形式的幂次,该算法能够有效识别素数,同时指出其存在的误判可能性及其计算过程中的关键步骤。

Miller-Rabin算法本质上是一种概率算法,存在误判的可能性,但是出错的概率非常小。出错的概率到底是多少,存在严格的理论推导。

费尔马小定理

  • 如果p是质数且(a,p)=1,则有ap11(modp)
    当然反过来不一定成立。即当ap1%p=1时,p未必是质数。但是这个概率比较小。所以利用费尔马小定理来检测素数,不能保证时刻都对,只能保证出错的概率比较小。
    给定正整数n,问n是否为质数(显然只需判断正奇数),最基本的做法就是计算2n1%n是否为1。如果不是1,n肯定为合数;否则,n可能为质数。

有限域上的平方根定理

  • 如果p是一个奇质数且e1,则方程
    x21(modpe)

    仅有两个根x=1或者x=1,注意到在模p的意义下,x=1等价于x=p1±1也称为1的平凡平方根
  • 很容易有一个推论,如果对模n存在1的非平凡平方根,n一定是合数

Miller-Rabin算法

利用上面两个定理,就可以构造出Miller-Rabin算法。考虑到n肯定是奇数(偶数的情况自己想去),则n一定可以表示为n1=2sd,其中s1d是奇数。则

an1=a2sd=(((ad)2)...)2

也就是说,an1相当于ad平方若干次。例如当n=7时,an1就是a6,就是a3的平方。当n=13时,an1就是a12,就是a3的平方的平方。
n=13的情况进行说明(所有运算都是在模n的意义下,以下的文字说明省略了这一点),任取一个a,1<a<13,计算a3,再将其平方一次得到a6,注意到a3a6的平方根(废话),根据平方根定理的推论,如果a6=1a3±1,则n肯定是合数。将a6平方一次得到a12,同样,如果a12=1a6±1,则n肯定是合数。最后,根据费尔马小定理,如果a121,则n肯定是合数。否则,n有极大概率为质数。
为了增加得到正确判断的概率,可以将a重复取不同的值,对每一个a验证一次adan1的过程。不过,考虑到ACM的特殊性,测试数据应该不会选择伪素数特别是强伪素数。所以很多题目的AC程序实际上只来一次即可。

typedef long long llt;
//利用二进制计算a*b%mod
llt multiMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 0LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = ( ret + a ) % mod, --b;
        b >>= 1LL;
        a = ( a + a ) % mod;
    }
    return ret;
}

//计算a^b%mod
llt powerMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 1LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = multiMod(ret,a,mod),--b;
        b >>= 1LL;
        a = multiMod(a,a,mod);
    }
    return ret;
}

//Miller-Rabin测试,测试n是否为素数
bool Miller_Rabin(llt n,int repeat){
    if ( 2LL == n || 3LL == n ) return true;
    if ( !( n & 1LL ) ) return false;

    //将n分解为2^s*d
    llt d = n - 1LL;
    int s = 0;
    while( !( d & 1LL ) ) ++s, d>>=1LL;

    srand((unsigned)time(0));
    for(int i=0;i<repeat;++i){//重复repeat次
        llt a = rand() % ( n - 3 ) + 2;//取一个随机数,[2,n-1)
        llt x = powerMod(a,d,n);
        llt y = 0LL;
        for(int j=0;j<s;++j){
            y = multiMod(x,x,n);
            if ( 1LL == y && 1LL != x && n-1LL != x ) return false;
            x = y;
        }
        if ( 1LL != y ) return false;
    }
    return true;
}
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