P1226 【模板】快速幂||取余运算

P1226 【模板】快速幂||取余运算

题目描述

输入b，p，k的值，求b^p mod k的值。其中b，p，k*k为长整型数。

输入输出格式

输入格式：

三个整数b,p,k.

输出格式：

输出“b^p mod k=s”

s为运算结果

输入输出样例

输入样例#1：

2 10 9

输出样例#1：

2^10 mod 9=7

TIPS:

原理：将某个数字多次自乘化为它的若干次幂的少次相乘，从而减少计算量，提高效率。转化的方法如下：将指数写成二进制之后，从右到左，如果为0则跳过，如果为1则乘底数的2的（位数-1）次幂，如：100^10D = 100^1010B= 100^10B * 100 ^ 1000B=100^2D * 100^8D。另外计算数字较大，所以要取余运算。取余运算有几个重要的性质需要使用：

（括号的余等于括号中每项分别取余再取余）

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）*使用在快速幂中
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：
  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：
  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：
  (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）

• Answer:
  https://paste.ubuntu.com/p/xYMW9GGtzk/

#include<cstdio>
#include<iostream>
int main(void){
	long base,b,p,pow,k,s = 1;
	scanf("%ld %ld %ld", &base, &pow, &k);

	b = base;
	p = pow;
	
	while(p){
		if(p&1){
			s = s * b % k; 
			
		}
		b = b * b % k;
		p = p >> 1;
	}

	printf("%ld^%ld mod %ld=%ld\n", base, pow, k, s % k);
	
	return 0; 
}