离散傅里叶变换---准找图片旋转的角度

 
	Mat i=imread("..//images//imageTextR.png",CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
	if(i.empty())return -1;

	//1 转化到 傅里叶 最佳尺寸
	Mat padded;
	int m=getOptimalDFTSize(i.rows);//获取 DFT(离散傅里叶变换) 的最佳尺寸
	int n=getOptimalDFTSize(i.cols);
	copyMakeBorder(i,padded,0,m-i.rows,0,n-i.cols,BORDER_CONSTANT,Scalar::all(0));//(左右上下方向)填充边框


	//2 为傅立叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间
	Mat planes[]={Mat_<float>(padded),Mat::zeros(padded.size(),CV_32F)};//数组:1相位图像(原图--转化为浮点型)2 置零的浮点型图像
	Mat complexI;//复合图像
	merge(planes,2,complexI);//将2个单通道图像 合并成一个 2通道图像

	//3 进行离散傅立叶变换
	dft(complexI,complexI);

	//4 将复数转换为幅度
	split(complexI,planes);
	magnitude(planes[0],planes[1],planes[0]);//将复数转换为幅度
	Mat magI=planes[0];

	//5 对数尺度(logarithmic scale)缩放
	magI+=Scalar::all(1);//转换到对数尺度
	log(magI,magI);//计算每个元素的自然对数

	//6 剪切和重分布幅度图象限
	magI=magI(Rect(0,0,magI.cols-2,magI.rows-2));
	int cx=magI.cols/2;
	int cy=magI.rows/2;

	Mat q0(magI,Rect(0,0,cx,cy));//
	Mat q1(magI,Rect(cx,0,cx,cy));
	Mat q2(magI,Rect(0,cy,cx,cy));
	Mat q3(magI,Rect(cx,cy,cx,cy));

	Mat tmp;
	q0.copyTo(tmp);
	q3.copyTo(q0);
	tmp.copyTo(q3);

	q1.copyTo(tmp);
	q2.copyTo(q1);
	tmp.copyTo(q2);

	normalize(magI,magI,0,1,CV_MINMAX);

	imshow("src",magI);
	waitKey(0);

### 离散傅里叶变换中的复数 离散傅里叶变换(DFT)是一种用于分析信号频域特性的工具,在图像处理领域有着广泛应用。DFT 的核心在于其能够将时间或空间域上的有限长度序列转换到频率域上表示,而这一过程不可避免地涉及到复数运算。 #### 复数在 DFT 中的作用 对于任意给定的一维离散信号 \( x[n] \),\( n=0,1,\ldots,N-1 \),该信号可以通过下述公式计算得到对应的 N 点离散傅里叶变换: \[ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} \) 表示虚部单位[^1]。这里引入了欧拉公式 \( e^{ix}=cos(x)+jsin(x) \)[^2] 来表达旋转因子 \( W_N=e^{-j2π/N} \),这使得我们可以利用复指数形式来简化公式的书写以及提高数值稳定性。 因此,通过上述定义可以看出,每一个输出项 X[k] 实际上都是由实部 Re{X[k]} 和虚部 Im{X[k]} 组成的一个复数向量;这些成分共同描述了原始输入信号中不同频率分量的存在情况及其相位关系。 #### 应用实例:基于 FFT 的图像压缩 考虑到实际应用背景下的效率需求,通常采用快速傅立叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT) 来加速传统 DFT 计算速度。下面给出一段简单的 Python 代码片段展示如何使用 NumPy 库执行二维 FFT 并观察结果: ```python import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt # 创建测试图片矩阵 img = np.zeros((64, 64)) for i in range(8): img[i*8:(i+1)*8,i*8:(i+1)*8] += ((i%2)^1) plt.figure(figsize=(9,3)) # 显示原图 plt.subplot(131), plt.imshow(img,cmap='gray'), plt.title('Original Image') # 执行 fft 转换 f_img = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(img)) # 取绝对值作为幅度谱显示 magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(f_img)) plt.subplot(132), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray') plt.title('Magnitude Spectrum after FFT') # 进行逆变换恢复图像 recovered_image=np.real(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(f_img))) plt.subplot(133), plt.imshow(recovered_image, cmap='gray') plt.title('Recovered Image via IFFT') plt.show() ``` 这段程序首先创建了一个黑白交替方格图案作为样本图像,接着对其进行了两次操作——先做正向的二维 FFT 得到了频域内的表示形式,并取模绘制出振幅谱;再经反向变换重构出了近似于初始状态的新图形。从实验效果来看,尽管存在些许误差,但总体而言仍能较好地还原源文件特征。
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