二叉搜索树

【二叉搜索树】是一种特殊的二叉树，它具有以下特征：

• 每个节点的左子树和右子树都是二叉搜索树。
• 每个节点的左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
• 每个节点的右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。

二叉搜索树在计算机科学中有着广泛的应用，它可以用于实现高效的数据存储和检索。

【二叉搜索树的查找】

在二叉搜索树中进行查找是非常快速的。从根节点开始，比较查找的值和当前节点的值的大小。如果查找的值小于当前节点的值，则继续在左子树中查找；如果查找的值大于当前节点的值，则继续在右子树中查找。重复这个过程，直到找到匹配的节点或者遍历完整个树。

时间复杂度：O(log n)，其中n是二叉搜索树中节点的数量。

【二叉搜索树的插入】

在二叉搜索树中插入节点也非常简单。如果根节点为空，将新节点作为根节点插入。否则，比较新节点的值和当前根节点的值的大小。如果新节点的值小于当前根节点的值，则将新节点插入到左子树中；如果新节点的值大于当前根节点的值，则将新节点插入到右子树中。重复这个过程，直到找到一个没有子节点的节点，将新节点插入到该节点之下。

时间复杂度：O(log n)，其中n是二叉搜索树中节点的数量。

【二叉搜索树的删除】

删除二叉搜索树中的节点稍微复杂一些。如果要删除的节点有两个子节点，需要找到该节点的前驱节点或者后继节点来替换该节点的位置，然后删除前驱节点或者后继节点。如果要删除的节点只有一个子节点，将其子节点替换到该节点的位置，然后删除子节点。如果要删除的节点是叶子节点，直接删除即可。

时间复杂度：O(log n)，其中n是二叉搜索树中节点的数量。

【二叉搜索树的遍历】

二叉搜索树支持三种遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历：先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
中序遍历：先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
后序遍历：先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

时间复杂度：O(n)，其中n是二叉搜索树中节点的数量。

【二叉搜索树的实现】

下面是一个用C++实现的二叉搜索树的例子：

// 二叉搜索树节点结构体  
struct TreeNode {  
    int val;  // 节点的值  
    TreeNode* left;  // 左子节点指针  
    TreeNode* right;  // 右子节点指针  
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}  
};  
  
// 二叉搜索树类  
class BinarySearchTree {  
private:  
    TreeNode* root;  // 根节点指针  
  
    // 构造一个新节点  
    TreeNode* new_node(int val) {  
        return new TreeNode(val);  
    }  
  
    // 插入操作（递归实现）  
    TreeNode* insert_recursive(TreeNode* node, int val) {  
        if (node == nullptr) {  
            return new_node(val);  
        } else if (val < node->val) {  
            node->left = insert_recursive(node->left, val);  
        } else if (val > node->val) {  
            node->right = insert_recursive(node->right, val);  
        } else {  // 值相等，不插入新节点，直接返回原节点指针  
            return node;  
        }  
        return node;  // 返回根节点指针，用于更新根节点指针（如果是新根节点）  
    }  
  
    // 中序遍历（递归实现）  
    void inorder_recursive(TreeNode* node, std::vector<int>& res) {  
        if (node != nullptr) {  
            inorder_recursive(node->left, res);  
            res.push_back(node->val);  
            inorder_recursive(node->right, res);  
        }  
    }  
public:  
    BinarySearchTree