poj 3358 Period of an Infinite Binary Expansion(数论：欧拉函数+快速幂取模)

最新推荐文章于 2018-08-10 10:07:40 发布

殷华

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分类专栏：数学／数论

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本文深入探讨了如何通过分数化小数的规律解决二进制循环问题，包括找到循环节长度和循环起点的方法。文章详细介绍了从分数转换到二进制循环的逻辑过程，以及如何使用欧拉定理和最大公约数来简化计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

不太好理解题意的一道题

给出一个除式

要求找到对应二进制的循环起点和最小循环节长度

这里还考察了分数化小数的知识点。。。

这点不会难怪看题解都觉得很吃力

1/10

分数化小数的规律如下：

0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 1.2 0.4（每次取左侧一位×2，如果大于10，小数位取1，再把这一位%10）

0 0 0 0 1 1 0

以1/10为例：1/10 2/10 4/10 8/10 16/10 32/10 64/10....

取模后：1/10 2/10 4/10 8/10 6/10 2/10 4/10

这不就是个循环吗？循环节为4，循环起点为2，正好与题目相符。。如何去找循环节和循环起点？

由于是二进制，所以分子可以表示为2^x,而模数即q

2^x=2^y(mod q)，2^x(2^(y-x)-1)=0(mod q)，即p|2^x(2^(y-x)-1)

因为x^(y-1)-1为奇数，所以p|2^x

首先把q尽量整除2直到不能整除为止，这个步骤的次数就是满足原式最小的x，并得到q'。

2^(y-x)=1(mod q')

根据欧拉定理，t=y-x=phi(q')满足此式。

因为2^phi(q')和q'的最大公约数可能不为1

所以不一定是最小值，需要枚举phi(q')约数。

用int交就WA，用long long就过了

代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

char str[100];
vector<LL> vec;

LL gcd(LL a, LL b) {
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

LL euler_phi(LL n) {
    LL ans = n;
    LL m = sqrt(n+0.5);
    for(LL i=2; i<=m; ++i) {
        if(n%i == 0) {
            n /= i;
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1)
        ans = ans/n*(n-1);
    return ans;
}

void get_fac(LL n) {
    LL m = sqrt(n+0.5);
    for(LL i=1; i<=m; ++i) {
        if(n%i == 0) {

            vec.push_back(i);
            if(n/i != i)
                vec.push_back(n/i);

        }
    }
}

LL pow_mod(LL a, LL b, LL m) {
    LL ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) {
            ans = ans*a%m;
        }
        a = a*a%m;
        b >>= 1;
    }
    return ans%m;
}

int main(void) {
    char ch;
    LL cas = 0, tmp, x, y, p, q;
    while(scanf("%s", str) != EOF) {
        vec.clear();
        sscanf(str, "%lld%c%lld", &p, &ch, &q);
        if(!p) {
            printf("Case #%lld: 1,1\n", ++cas);
            continue;
        }
        //printf("p = %d\tq = %d\n", p, q);
        tmp = gcd(p, q);
        p /= tmp;
        q /= tmp;
        x = 1;
        while(q % 2 == 0) {
            q >>= 1;
            ++x;
        }
        tmp = euler_phi(q);

        get_fac(tmp);
        sort(vec.begin(), vec.end());
        for(int i=0; i<vec.size(); ++i) {
            if(pow_mod(2, vec[i], q) == 1) {
                y = vec[i];
                break;
            }
        }
        printf("Case #%lld: %lld,%lld\n", ++cas, x, y);
    }
    return 0;
}</span>