hdu 1205 吃糖果(数学：推理||数据结构：优先队列)

最新推荐文章于 2021-06-09 08:28:00 发布

殷华

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分类专栏：数学／数论

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本文探讨了一种使用优先队列解决糖果集合问题的方法，通过优先队列找到并处理最大的糖果集合，最终判断是否能将所有集合取完。同时，文章对比了一种更为简洁的数学证明方法，并提供了相应的代码实现。此外，还详细解释了为什么选择最大集合个数作为关键因素来判断问题的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

可以把每堆糖果抽象成一个集合

每次从两个集合各取一个元素，问最后能否把所有集合取完

感觉这个题还是比较简单的

读完之后就想着用优先队列来做

每次找到两个最大的集合，保证把较小集合元素取完

一直这样做下去直到所有集合都空或剩余一个元素个数大于1的集合

421ms代码如下：

#include <queue>
#include <cstdio>
using namespace std;

bool ok;
int T, n, x, y, tmp;
priority_queue<int, vector<int>, less<int> > q;

int main(void) {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        ok = false;
        while(n--) {
            scanf("%d", &x);
            q.push(x);
        }
        while(true) {
            if(!q.empty()) {
                x = q.top();
                q.pop();
            } else {
                ok = true;
                break;
            }

            if(!q.empty()) {
                y = q.top();
                q.pop();
            } else if(x > 1) {
                ok = false;
                break;
            } else {
                ok = true;
                break;
            }
            //printf("x = %d\ty = %d\n", x, y);
            tmp = min(x, y);
            x -= tmp;
            y -= tmp;
            if(x > 0) q.push(x);
            if(y > 0) q.push(y);
        }
        if(ok) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
}

后来看了评论里发现了一个很犀利的做法

判断集合个数总和sum与最大集合个数maxv之间的关系

如果sum+1 >= 2*maxv 则yes

否则no

想了下觉得可以这样证明：

如果把所有的集合分成两个集合maxv sum-maxv

那么很容易想到结果为yes的情况正好对应于abs(s1-s2) <= 1

否则为no

贴上别人的证明：

证明：

1.把某种糖果看做隔板,如果某种糖果有n个,那么就有n+1块区域,至少需要n-1块其他种糖果才

能使得所有隔板不挨在一块..也就是说能吃完这种糖果.至少需要其他种类糖果n-1块..(鸽巢原理)

2.数量最多的糖果(隔板)可以构造最多的空间,如果这种糖果有maxn个....那么需要maxn-1个其

他种糖果.对于某种数量少于maxn的糖果来说,可以在原本数量最多的糖果构造的隔板上"加厚"原

有的隔板...,那么这"某种糖果"就销声匿迹了.....

考虑极端情况.如果某种糖果无法在这maxn+1的空间内构造出符合条件的序列,那么这种糖果至

少要有maxn+1+1个(考虑只有两种糖果的情况)...(鸽巢原理)...但是这与数量最多的那种糖果只有

maxn个矛盾.....(maxn+1+1>maxn 这不等式不难理解吧....).

想一下是不是这样？

那么下面代码里为什么要使maxv取所有集合元素个数的最大值呢？

156ms代码如下：

#include <stdio.h>
#define LL long long

int T, n, a, maxv;
LL sum;

int main(void) {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        sum = 0ll;
        maxv = -1;
        while(n--) {
            scanf("%d", &a);
            sum += a;
            maxv = maxv > a ? maxv : a;
        }
        sum -= maxv;
        if(sum >= maxv-1) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}