图论学习笔记之一——Floyd算法

最新推荐文章于 2023-06-17 23:28:06 发布

她山之石

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分类专栏：总结文章标签： c++ ACM 图论 Floyd算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq1627218380/article/details/20869857

本文介绍了Floyd算法，一种解决图中任意两点间最短路径的算法，适用于有向图和负权边的情况。算法通过三层循环遍历所有节点，更新最短路径。文章还给出了一个关于大臣旅行费用的问题，作为Floyd算法的应用示例，该问题求解从一个城市到另一个城市的最贵路径费用。最后，提供了源代码实现以展示如何应用Floyd算法解决实际问题。

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一、Floyd算法又称为弗洛伊德算法，是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。
　　　二、算法思想：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，
　　　1、是直接从A到B，
　　　2、是从A经过若干个节点X到B。
所以，我们假设dis(A,B)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查dis(A,X) + dis(X,B) < dis(A,B)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置dis(A,B) = dis(A,X) + dis(X,B)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。
　　　三、核心算法如下：

for ( k=1; k<=节点个数;++k){
    for (i=1;i<=节点个数; ++i ){
        for ( j = 1; j <= 节点个数; ++j ){
            if ( dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j] ){
                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];	//找到更短路径
            }
        }
    }
}

　　　四、例子：大臣的旅费
　　　很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，