图论模型-Floyd算法

简介

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度来看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干节点k到j。所以，我们假设Dis（i,j）为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k)+Dis(k,j)<Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis（i,j） = Dis(i,k)+Dis(k,j),这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

举例

程序

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:n
   for j=1:n
      if D(i,j)~=inf
         path(i,j)=j;
      end 
   end
end
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
            D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
            path(i,j)=path(i,k);
         end 
      end 
   end
end
if nargin==3
   min1=D(start,terminal);
   m(1)=start;
   i=1;
   while   path(m(i),terminal)~=terminal
      k=i+1;                                
      m(k)=path(m(i),terminal);
      i=i+1;
   end
   m(i+1)=terminal;
   path1=m;
end   

使用

a= [ 0,50,inf,40,25,10;
     50,0,15,20,inf,25;
     inf,15,0,10,20,inf;
     40,20,10,0,10,25;
     25,inf,20,10,0,55;
     10,25,inf,25,55,0];
[D, path]=floyd(a)

测试结果