【OpenCV3图像处理】仿射变换 透视变换

图像处理的仿射变换和透视变换

仿射变换和透视变换更直观的叫法可以叫做“平面变换”和“空间变换”。一个是二维坐标(x,y)，一个是三维坐标(x,y,z)

仿射变换：二维平面的变换 ； 线性变换 ；已知3对坐标点就可以求得变换矩阵

透视变换：三维空间的变换 ； 非线性变换 ；已知4对坐标点可以求得变换矩阵

仿射变换（affine transformation）

仿射变换是空间直角坐标系的变换，从一个二维坐标变换到另一个二维坐标，仿射变换是一个线性变换，他保持了图像的“平行性”和“平直性”，即图像中原来的直线和平行线，变换后仍然保持原来的直线和平行线，仿射变换比较常用的特殊变换有平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
用公式可以表示为：

$$\vec{q}=A\vec{p}+\vec{b}$$
其中，p为变换前原始向量，q为变换后目标向量，A为线性变换矩阵，b为平移变换向量。公式可统一写成矩阵形式以方便计算：
$$\begin{bmatrix} \vec{q}\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & \vec{b}\\ 0& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vec{p}\\ 1 \end{bmatrix}$$

在图像处理中，我们所谓的向量是二维坐标(x,y)，所以向量p、q可以如下表示：

$$\vec{q}= \begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix} \vec{p}= \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$
因此我们又能将上述矩阵改写成：
$$\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\\ 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{1} &a_{2} &b_{1} \\ a_{3}&a_{4} &b_{2} \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ 1\end{bmatrix}$$
其中
$$T=\begin{bmatrix}a_{1} &a_{2} &b_{1} \\ a_{3}&a_{4} &b_{2} \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}, A=\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2} \\ a_{3}&a_{4} \end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2}\end{bmatrix}$$
T矩阵只有6个参数，所以只要知道3个点对的对应坐标，就可以求出T矩阵,也就得到A矩阵和b向量。

仿射变换也可以看成坐标系的旋转和缩放以及平移：

P点位置不变，坐标系由（Xt，Yt）变换到（Xs，Ys），相应的坐标有（Xtp，Ytp）变换成（Xsp，Ysp）。

其中（Xtp，Ytp）与（Xsp，Ysp）的关系如下：

OpenCV3中相应的函数：

estimateRigidTransform()：计算多个二维点对或者图像之间的最优仿射变换矩阵 （2行x3列），H可以是部分自由度，比如各向一致的切变。
getAffineTransform()：计算3个二维点对之间的仿射变换矩阵H（2行x3列），自由度为6.
warpAffine()：对输入图像进行仿射变换

透视变换（Perspective transformation）

透视变换(Perspective Transformation)是将图片投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。通用的变换公式为：

变换矩阵可以拆成4部分，表示线性变换，比如scaling，shearing和ratotion。用于平移，产生透视变换。所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。经过透视变换之后的图片通常不是平行四边形（除非映射视平面和原来平面平行的情况）。

OpenCV3中相应的函数：

findHomography： 计算多个二维点对之间的最优单映射变换矩阵 H（3行x3列） ，使用最小均方误差或者RANSAC方法 。
getPerspectiveTransform()：计算4个二维点对之间的透射变换矩阵 H（3行x3列）
warpPerspective()： 对输入图像进行透射变换
perspectiveTransform()：对二维或者三维矢量进行透射变换，也就是对输入二维坐标点或者三维坐标点进行投射变换。
estimateAffine3D：计算多个三维点对之间的最优三维仿射变换矩阵H （3行x4列）
transform()：对输入的N维矢量进行变换，可用于进行仿射变换、图像色彩变换.
findFundamentalMat：计算多个点对之间的基矩阵H。

参考：
作者：ruiruige1991
恋上蛋炒面的专栏