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#poj #矩阵 #递推

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本文介绍了一种使用2x1方块铺满4xN格子的不同铺法数量的计算方法。通过定义状态转移方程并利用矩阵快速幂算法，解决了这一计数问题。

题目大意：用2x1的方块铺满4xN的格子，有多少种不同的铺法。
这个题目是一个计数问题。把格子看成4列N行，假设现在要铺第n+1行(即第n行已铺满)，则第n+1行有如下情况： a,bx,by,c,d,e表示对应情况的方案数
由图不难得出：
$a_{n+1}=a_n+bx_n+by_n+c_n+e_n$
$bx_{n+1}=a_n+by_n$
$by_{n+1}=a_n+bx_n$
$c_{n+1}=a_n+d_n$
$d_{n+1}=c_n$
$e_{n+1}=a_n$
若令 $b_n=bx_n+by_n$ ,则可以进一步简化上述递推式：
$a_{n+1}=a_n+b_n+c_n+e_n$
$b_{n+1}=2a_n+b_n$
$c_{n+1}=a_n+d_n$
$d_{n+1}=c_n$
$e_{n+1}=a_n$

令

F = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1210111000100100010010000 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ A n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a n b n c n d n e n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$F=\begin{bmatrix} 1&1&1&0&1\\ 2&1&0&0&0\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0 \end{bmatrix}\quad A_n=\begin{bmatrix} a_n\\b_n\\c_n\\d_n\\e_n \end{bmatrix}$
则

An+1=FAn $A_{n+1}=FA_n$
根据定义，显然

A 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 12101 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\\0\\1\end{bmatrix}$
通过矩阵的快速幂算法即可求出

An $A_n$ ，得到答案

an $a_n$ 。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

struct FFF {
    int matrix[5][5];
    FFF operator*(const FFF& nec) {
        FFF ret;
        for (int i = 0; i < 5; i++)
            for (int j = 0; j < 5; j++) {
                ret.matrix[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < 5; k++)
                    ret.matrix[i][j] += matrix[i][k] * nec.matrix[k][j];
            }
        return ret;
    }
    FFF operator%(int mod) {
        FFF ret;
        for (int i = 0; i < 5; i++)
            for (int j = 0; j < 5; j++)
                ret.matrix[i][j] = matrix[i][j] % mod;
        return ret;
    }
}F = { {
        {1,1,1,0,1},
        {2,1,0,0,0},
        {1,0,0,1,0},
        {0,0,1,0,0},
        {1,0,0,0,0}
    }
};

int A[5] = { 1,2,1,0,1 };

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    while (n)
    {
        FFF M = F, E;
        memset(E.matrix, 0, sizeof(E.matrix));
        for (int i = 0; i < 5; i++)
            E.matrix[i][i] = 1;
        for (int i = n - 1; i != 0; i >>= 1)
        {
            if (i & 1)  E = M*E%m;
            M = M*M%m;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < 5; i++)
            ans += E.matrix[0][i] * A[i];
        cout << ans%m << endl;
        cin >> n >> m;
    }
    return 0;
}