杭电1098题

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本题一开始做脑子里什么五花八门的东西都出来了，一句话没头绪。后来静下心来想一想，貌似高中的多项式整除某个数，求参数。于是乎联想到了数学归纳法。

已知：f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，当给定k的值后，多项式中只有一个参数a了。对于任意的x都有65|f(x),求满足条件的a的最小值。如果找不到则输出no.

数学归纳法：

(1)：当x=t时满足65|f(t).即：5*t^13+13*t^5+k*a*t=65M; (其中M是非负整数)

(2)：当x=t+1时，f(t+1)=5*(t+1)^13+13*(t+1)^5+k*a*(t+1)

                                 =5*[c(13,0)*t^13+c(13,1)*t^12+……+c(13,12)*t+c(13,13)]+13*[c(5,0)*t^5+c(5,1)*t^4+……+c(5,4)*t+c(5,5)]+k*a*t+k*a

                                 =5*[c(13,1)*t^12)+……+c(13,12)*t]+13*[c(5,1)*t^4+……+c(5,4)*t]+(5*t^13+13*t^5+k*a*t)+(5+13+k*a)

                                =5*[c(13,1)*t^12)+……+c(13,12)*t]+13*[c(5,1)*t^4+……+c(5,4)*t]+f(t)+(18+k*a)

5*[c(13,1)*t^12)+……+c(13,12)*t]式中的每个组合系数都可以提出个13出来，所以可以整除65；

13*[c(5,1)*t^4+……+c(5,4)*t]式中每个组合系数都可以提出个5来，所以可以整除65；

由(1)式知f(t)可以整除65，

所以f(t+1)要整除65则常数项(18+k*a)必须整除65，即：(18+k*a)%65==0;

由求余的性质可知，(k*a)%65==47;即：(k%65)*(a%65)==47 ----------(*);

由(*)式可知，对于给定的k来说，k%65是一个定值，而a%65取余的结果为从0~64，每65次一循环，如果a在0~64内对65取余的结果与k%65的乘积不等于47，则找不到满足题意的a值。

代码如下：

#include<stdio.h>int main()

{   

     int k,a;

     while(scanf("%d",&k)!=EOF)   

     {       

          for(a=0;a<=64;a++)       

          {           

                if((k*a)%65==47)//数学归纳法和二项式展开，得到常数项必是65的倍数，于是得到此式         
                {

                    printf("%d\n",a);               

                    break;

                }

          }

         if(a==65)
                 printf("no\n");   

     }   

     return 0;

}