混合图:即有的边有向,有的边无向。
定义:
对于图G的一个回路,若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图(简称E图)。
定理:
一个无向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。
一个有向图是欧拉图,当且仅当该图所有顶点度数都是0。
有向图存在欧拉回路的充要条件:基图(把所有有向边变成无向边以后得到的图)连通,且每个点的出度等于入度。
所以求混合图的关键是:判断能否存在一个定向,使得每个节点的入度等于出度。
因此可以用网络流来做。建边方法,黑书上有两种,这里讲第二种,更好一点的。图的点数为n + 2,边数为 m + n,其中,n为原点数,m为原边数。
黑书上的讲的我没看太懂,按照我自己的理解,讲一下建图过程。
在原图中,首先给每条无向边任意定向,构成一个有向图,计算每个点的度deg,入度为正,出度为负,如果某个点的deg为奇数,显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边,不能更改方向,无用,删了,对原图中的无向边定向后构成的有向图,如果点 i 到j 有一条弧,弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候,即有重边,可以一条边,多容量代替) 增加源点S,汇点T,对于每个点 i ,如果deg < 0,即出度大于入度,从S引一条弧到 i ,容量为(- deg ) / 2;如果deg > 0, 即入度大于出度,从 i 引一条弧到 T,容量为 deg / 2,如果deg = 0,就不用建边了。求新网络的最大流。如果从S出发的所有弧满载,则欧拉回路存在,把所有的有流的弧全部反向(如果某条边容量大于1,流量为几,反向几条边就可以了),把原图中的有向边再重新加入,就得到了一个有向欧拉回路。
满载是为了流量平衡,为了每个顶点的入度和出度相等。
为什么把有流边反向,就能得到一个欧拉回路呢?
想一想:如果有流边<u, v>反向,则deg[u]就增加了2, deg[v]减少了2, 这就是为什么开始加弧的时候为什么deg要除以2的原因了,每增加一个流量,就有一条起点到终点的路径,把路径上的所有点都反向,则起点的度增加了2, 终点的度减少了2, 中间点度数不变,而起点如果有这条流量,就代表他的出度大,入度小,需要更改临边来使得最终出度等于入度,最大流的这个性质正好满足,如果所有S到v的弧满流了,那么经过上面的操作,v点的出度必然等于入度,如果所有从S出发的弧都满流了,那么就找到以一种定向方式使得原图得到了一个有向欧拉回路。
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 210;
const int M = 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int ind[N],outd[N],head[N],dis[N];
int num,n,m,maxflow,totflow,source,sink;
struct Edge
{
int to,flow,next;
}edge[M*3];
void add(int from,int to,int flow)
{
edge[num].to = to;
edge[num].flow = flow;
edge[num].next = head[from];
head[from] = num++;
}
void add_graph(int from,int to,int flow)
{
add(from,to,flow);
add(to,from,0);
}
void init()
{
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(outd,0,sizeof(outd));
memset(ind,0,sizeof(ind));
num = 0;
}
void input()
{
int from,to,type;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i = 0 ; i < m ;i++)
{
scanf("%d %d %d",&from,&to,&type);
ind[to]++;
outd[from]++;
if(from != to && !type)
{
add_graph(from,to,1);
}
}
}
int build()
{
totflow = 0,source = 0,sink = n + 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
if((ind[i] + outd[i]) & 1)
{
return 0;
}
else if(outd[i] > ind[i])
{
int dis = (outd[i] - ind[i]) >> 1;
totflow += dis;
add_graph(source,i,dis);
}
else
{
int dis = (ind[i] - outd[i]) >> 1;
add_graph(i,sink,dis);
}
}
return 1;
}
int bfs()
{
memset(dis,0,sizeof(dis));
queue<int>q;
dis[source] = 1;
q.push(source);
while(!q.empty())
{
int cur = q.front();
q.pop();
if(cur == sink)
{
return 1;
}
for(int i = head[cur] ; i != -1 ; i = edge[i].next)
{
int to = edge[i].to;
int flow = edge[i].flow;
if(!dis[to] && flow)
{
dis[to] = dis[cur] + 1;
q.push(to);
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int cur,int cp)
{
if(cur == sink)
{
return cp;
}
int tmp = cp;
int t;
for(int i = head[cur] ; i != -1 && tmp ; i = edge[i].next)
{
int to = edge[i].to;
int flow = edge[i].flow;
if(dis[to] == dis[cur] + 1 && flow)
{
t = dfs(to,min(tmp,flow));
edge[i].flow -= t;
edge[i^1].flow += t;
tmp -= t;
}
}
return cp - tmp;
}
void dinic()
{
maxflow = 0;
while(bfs())
{
maxflow += dfs(source,inf);
}
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif // LOCAL
int ncase;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
init();
input();
int flag = build();
if(flag)
{
dinic();
if(maxflow >= totflow)
{
cout<<"possible"<<endl;
}
else
{
cout<<"impossible"<<endl;
}
}
else
{
cout<<"impossible"<<endl;
}
}
return 0;
}