【剑指**】递归附加题-变态跳台阶

递归附加题-变态跳台阶

题目描述

有一个n级的台阶，青蛙一次可以跳1次，也可以跳2次，…，也可以跳n次。问青蛙跳上一个n级的台阶，总共有多少种跳法。

题目分析

本题是斐波那契数列的升级版。按照这样的思路去分析。
用Fib(n) 表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数。（设定 Fib(0) = 1）

当n=1时，只有1种跳法: Fib(1) = 1

只有1种情况，跳1步，一种跳法；

当n=2时，有2种跳法数: Fib(2) = Fib(0) + Fib(1) = 2

第一种情况，跳1步，则后面还有 Fib（2-1）种情况；
第二种情况，跳2步，则则后面有 Fib（2-2）种情况；

当n=3时，有4种跳法数: Fib(3) = Fib(0) + Fib(1) + Fib(2) = 4

第一种情况，跳1步，则后面还有 Fib（3-1）种情况；
第二种情况，跳2步，则后面还有 Fib（3-2）种情况；
第三种情况，跳3步，则后面还有 Fib（3-3）种情况；

考虑更一般的情况。

当n=n时，共有n种跳跃方式，第一次跳出1步后，有Fib（n-1）种，第一次跳出2步后，有Fib（n-2）种,…,第一次跳出n步后，有Fib（n-n）种。

于是

Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)+…+Fib(n-n) (1)

同理，当n=n-1时，

Fib(n-1) = Fib(n-2)+…+Fib(n-1-n-1) (2)

（1）- （2）可得：

Fib(n) - Fib(n-1) = Fib(n-1)

于是 Fib（n) = 2*Fib(n-1)

综上，可以将结果归纳为：

对于上面的结果，还可以进一步的归纳。

观察n=1，2，3时，取值分别为1，2，4

又因为 Fib（n) = 2*Fib(n-1)
所以整个序列都是偶数

1 = 2^0

2 = 2^1

3 = 2^2

于是，进一步

Fib(n) = 2^(n-1)

这样，程序实现起来，只需要1句话

Reference

1. https://www.cnblogs.com/batys/archive/2013/09/19/3329955.html