gcd,欧几里得,拓展欧几里得&NOIP2012d2t1

朴素欧几里得：辗转相除法求gcd(a,b)（a和b的最大公约数），gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，不是重点不多说了

拓展欧几里得：必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

首先证明这个命题成立

设a>b

(1)b=0时，gcd(a,b)=a,x=1,y=0

(2)ab≠0 gcd(a,b)=ax+by 同理存在gcd(b,a%b)=bx1+(a%b)y1

∵gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

∴ax+by=ax1+(a%b)y1

ax+by=bx1+(a-(a/b)*b)y1  这一步特殊而重要，这里的“/”指的是计算机中的除并向下取整

ax+by=ay1+b(x1-(a/b)y1)

因为这个等式恒成立，所以x=y1，y=x1-(a/b)y1,

又因为当b=0时,x=1,y=0,这样就可以确保递推能求解x，y了，得证

写道题做代码样例

NOIP2012d2t1 同余方程

原题链接https://vijos.org/p/1781

ax ≡ 1 (mod b)可以转化为 求最小正整数x使ax-by=1，一样可解

求出任意一组解,再%b出最小值

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long lld;
lld a,b,x,y;
lld exgcd(lld a,lld b,lld &x,lld &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	lld ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	lld t=x;
	x=y,y=t-(a/b)*y;
	return ans;
}
int main(){
	freopen("mod.in","r",stdin);
	freopen("mod.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	lld ans=exgcd(a,b,x,y);
	if(ans==1){
		x=((x%b)+b)%b;
		printf("%I64d",x);
	}
	return 0;
}

其实像我这样数学不好的，一遇这个就懵*，还是得多练，我这篇其实不过是刚刚弄懂老师讲的，再重新推一遍罢了。