CF913C dp+贪心+数位

最新推荐文章于 2025-12-31 16:06:09 发布

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#dp #贪心算法

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本文介绍了一种基于二进制位分析的算法，用于解决在特定价格策略下，如何以最少的成本购买至少L个物品的问题。通过分析不同价格之间的关系，得出购买任意数量商品的最优解。

题目链接：

点这里

题目大意：

给定n和L，接下来n个数，第i个数 $a_i$ （0<=i<=n-1）代表购买 $2^{i-1}$ 个物品的花费，要求购买不少于L个的最小花费是多少

思路：

n，L的数值都比较大，使用多重背包不可行，观察题目可以发现，答案很可能与二进制位有关。可以想到， $a_i$ 与 $a_{i+1}$ 之间有三种关系
①2* $a_i$ = $a_{i+1}$
②2* $a_i$ < $a_{i+1}$
③2* $a_i$ > $a_{i+1}$
在第一种关系下，无论是选择 $a_i$ 还是 $a_{i+1}$ 对答案没有影响
在第二种关系下，则应购买两个 $a_i$ 而不是一个 $a_{i+1}$
在第三种关系下，应该选用 $a_{i+1}$ 而不是两个 $a_i$
因此，我们可以得出购买 $2^k$ 件商品的最优解

思考一个问题：假设恰好需要购买L件，而不是大于等于L件，这个时候，只要在以上的基础，把L对应二进制位上的 $a_i$ 全部加起来就是最优解。

当可以购买大于等于L件商品的时候的最优解：假设购买了M件商品为最优解，M>=L。此时从高位到低位，M与L的二进制第一次出现不同的位置i所对应的 $a_i$ 小于L比i小的所有位 $a_i$ 的和。从这个角度出发可得最优解。

代码：

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
long long INF=9223372036854775807;
long long s[31];
long long dp[31];
long long a[31];
int main()
{
    int n,L;
    memset(a,0,sizeof a);
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&dp[i]);
    }
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        dp[i+1]=min(dp[i+1],2*dp[i]);
    }
    long long ans=INF;
    long long sum=0;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        long long need=L/(1<<i);
        sum+=need*dp[i];
        L-= need<<i;
        ans=min(ans,sum+(L>0)*dp[i]);/**(L>0)代表有余数，当前位的低位还有1**/
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}