用Mathematica绘制洛伦兹模型的状态方程

本文通过MATLAB和Mathematica代码展示了著名的洛伦兹方程组,该方程组是混沌理论中蝴蝶效应的经典例子。文章提供了完整的代码实现,并通过三维参数绘图展现了混沌系统的轨迹。

偶然看到的,原文:你看见蝴蝶翅膀上的数学公式了吗?——哆嗒数学网

看到matlab代码代码就像用麦酱改写一下试试。。

原matlab代码:

f=@(t,x)[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));

其实就几个微分方程和初始条件,改起来还是很容易的

sol=NDSolve[{
x[1]'[t]==-8/3x[1][t]+x[2][t]x[3][t],
x[2]'[t]==-10x[2][t]+10x[3][t],
x[3]'[t]==-x[1][t]x[2][t]+28x[2][t]-x[3][t],
x[1][0]==0,x[2][0]==0,x[3][0]==1*^-10},Array[x,3],{t,0,100}]
ParametricPlot3D[{x[1][t],x[2][t],x[3][t]}/.First@sol,{t,0,100},PlotStyle->Thin]

为了保持与原程序一致,这里使用的x[i]而不是{x,y,z}
结果:
在这里插入图片描述

洛伦兹方程描述了电磁场中粒子的运动,由于其方程形式复杂,常用数值求解方法。Mathematica是一款强大的数学软件,能够用于数学建模、符号计算和数值求解等,因此可用Mathematica求解洛伦兹方程。 在Mathematica中,可以通过定义洛伦兹方程和初始条件,然后使用数值求解方法进行求解。例如,假设洛伦兹方程为: dx/dt = σ(y - x), dy/dt = x(ρ - z) - y, dz/dt = xy - βz, 其中,σ、ρ和β为常数,x、y和z为粒子在空间中的位置。 首先,在Mathematica中定义洛伦兹方程和初始条件,可以使用DifferentialEquations`NDSolve函数进行求解。代码如下: lorenzEquations = { x'[t] == σ (y[t] - x[t]), y'[t] == x[t] (ρ - z[t]) - y[t], z'[t] == x[t] y[t] - β z[t] }; initialConditions = {x[0] == 1, y[0] == 1, z[0] == 1}; solution = NDSolve[ {lorenzEquations, initialConditions}, {x[t], y[t], z[t]}, {t, 0, 10} ][[1]]; 通过以上代码,可以求解出在0到10时间内粒子的位置。 最后,使用Plot函数绘制粒子位置随时间的图像,以便更好地理解粒子的运动过程。代码如下: Plot[ Evaluate[{x[t], y[t], z[t]} /. solution], {t, 0, 10}, PlotLegends -> {"x(t)", "y(t)", "z(t)"} ]; 以上是使用Mathematica求解洛伦兹方程的简单步骤。通过定义洛伦兹方程和初始条件,然后使用数值求解方法,我们可以获得粒子在电磁场中的运动轨迹。Mathematica的强大功能为我们提供了一个简单而有效的数值求解工具。
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