Batch Normalization推导过程

本文深入解析BatchNormalization(BN)在深度学习中的作用,它不仅加速训练过程,还具有正则化效果。通过消除特征偏移,BN提高了模型泛化能力。文章详细介绍了BN的前向传播和反向传播过程,揭示了其背后的数学原理。

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一、BN简介

Batch Normalization可谓深度学习的一大利器,可以大大提高训练速度,并带有正则化的效果。其能加速训练的原因是因为消除了每层输出结果中的特征偏移,例如我们在训练一个猫的检测器,如果当前batch中的猫均为白色,那么可能会导致训练过程中某一层的权重分布倾向于“颜色为白色”。然而猫有各种颜色,如果网络只拘泥于白色,会大大降低了训练速度。因此,对Batch Normalization的一个直观印象就是消除上述的特征偏移。

二、BN前向传播和反向传播推导

前向传播很简单,即对该层每个神经元的所有输出(共batch_size个)求均值和方差,再进行均值归零、方差为1的操作。

反向传播最主要的还是利用了复合函数求导,法则如下:

若y = f(x), z = g(x, y), u = h(x, y, z),则du/dx = dh/dx + du/dy * dy/dx + du/dz * dz/dx

时间有限,手撕了一遍推导过程,如有不对之处,烦请告知!

### Batch Normalization 中梯度的计算及作用 Batch Normalization (BN) 的引入旨在解决神经网络中的梯度消失和梯度爆炸问题,同时也缓解了内部协方差转移现象。为了更好地理解 BN 的梯度计算及其作用,可以从以下几个方面展开分析。 #### 1. 梯度计算的核心机制 在反向传播过程中,Batch Normalization 层会对其参数(如 γ 和 β)以及输入数据 z 进行梯度更新。具体来说: - **标准化操作**:对于给定的一批数据 \( \{z_1, z_2, ..., z_m\} \),首先计算这批数据的均值 μ 和方差 σ²: \[ \mu_B = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}z_i,\quad \sigma_B^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(z_i-\mu_B)^2 \] 接着对每一批次的数据进行标准化处理: \[ \hat{z}_i = \frac{z_i - \mu_B}{\sqrt{\sigma_B^2+\epsilon}} \] - **可学习参数的作用**:标准化后的数据经过尺度放缩和平移变换,最终输出为: \[ y_i = \gamma \cdot \hat{z}_i + \beta \] 其中 γ 和 β 是两个可学习的参数,用于恢复模型表达能力[^3]。 #### 2. 反向传播中的梯度推导 在反向传播阶段,损失函数 L 对 BN 输出 \(y\) 的梯度会被逐层传递到前面各层。以下是具体的梯度计算公式: - 首先定义中间变量: \[ dL/d\hat{z}_i = \gamma \cdot dL/dy_i \] - 计算关于均值 μ 和标准差 σ 的梯度: \[ dL/d\mu_B = \sum_{i=1}^{m}-dL/d\hat{z}_i / (\sqrt{\sigma_B^2+\epsilon}) \] \[ dL/d\sigma_B^2 = \sum_{i=1}^{m}-0.5(dL/d\hat{z}_i)(z_i-\mu_B)/(\sigma_B^2+\epsilon)^{3/2} \] - 更新原始输入 \(z\) 的梯度: \[ dL/dz_i = dL/d\hat{z}_i/\sqrt{\sigma_B^2+\epsilon} + dL/d\mu_B/m + dL/d\sigma_B^2(2(z_i-\mu_B))/m \] 这些公式的推导基于链式法则,并考虑了批量统计量的影响[^2]。 #### 3. 实现代码示例 以下是一个简单的 PyTorch 实现,展示了如何手动完成 Batch Normalization 的前向与反向传播过程: ```python import torch def batch_norm(X, gamma, beta, eps=1e-5): mean = X.mean(dim=0) var = ((X - mean)**2).mean(dim=0) X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps) Y = gamma * X_hat + beta return Y, mean, var # 前向传播测试 X = torch.tensor([[1., 2.], [3., 4.]]) gamma = torch.tensor([1., 1.]) beta = torch.tensor([0., 0.]) Y, _, _ = batch_norm(X, gamma, beta) print(Y) # 反向传播模拟 grad_Y = torch.ones_like(Y) grad_X = grad_Y * gamma / torch.sqrt(torch.var(X, dim=0, unbiased=False)) print(grad_X) ``` 上述代码实现了基本的 BN 正则化逻辑,并演示了部分梯度计算方法。 ---
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