矩阵的特征值和特征向量于动态系统_状态空间矩阵的特征值可以反映什么-优快云博客

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特征值和特征向量

对于特征值或者特征向量，很多人的记忆都停留在：

$A\xi =\lambda \xi$

A是一个矩阵， $\xi$ 是一个特征向量， $\lambda$ 是一个特征值。或者熟悉MATLAB的同学会（ $AT=TD$ ）：

>>[T, D] = eig(A)

T和D都是矩阵，T的列向量是A的特征向量，D是对角矩阵且是A的对应特征向量的特征值。那么寻找特征向量的意义又是什么呢？

我们先从下面的短视频来直观的感受一下特征向量和特征值：

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线性变换时的特征向量

我们有矩阵A：

$A=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

通过MATLAB，我们可以计算出：

>>[T D] = eig([3 1; 0 2])

T =

    1.0000   -0.7071
         0    0.7071


D =

     3     0
     0     2

视频中，我标出了3个向量：

$\left\{\begin{matrix} \xi_1= (+1.0000,0.0000)\\ \xi_2 = (-0.7071,0.7071)\\ v= (+0.7071,0.7071) \end{matrix}\right.$

可以看出，虽然经过了线性变换， $\xi _1$ 和 $\xi _2$ （A的特征向量）依然停留在之前方向，而 $v$ 却偏离了之前的方向。这就是特征向量的含义。那特征值呢？视频中不难看出，虽然 $\xi _1$ 和 $\xi _2$ 停留在之前方向，但是他们的长度却被分别放大了3倍和2倍。这就是特征值的含义。